Stillwell menciona en su libro, Las matemáticas y su historia eso:
De hecho, la mayoría de los problemas matemáticos antiguos sin resolver son simples preguntas sobre los números naturales...
¿Se ha intentado comprender qué tiene la "topología" (en sentido figurado) de la teoría de números que hace que los problemas abiertos sean notoriamente difíciles de resolver?
No creo que las preguntas de la teoría de números sean necesariamente más difíciles de responder. Más bien, son más fácil preguntar . Los números enteros son objetos familiares y con los que es fácil jugar, y por esta razón es probable que a lo largo de la historia se hayan planteado más preguntas sobre ellos que sobre cualquier otro objeto de las matemáticas. De vez en cuando, uno de estos problemas resiste todos los intentos...
Dicho esto, algunos problemas de la teoría de números son increíblemente difíciles de resolver, pero increíblemente fáciles de enunciar. ¿Cuántas soluciones en números enteros tiene $x^{17}+y^{17} = z^{17}$ ¿tiene? Dada una pregunta matemática, se podría intentar cuantificar la relación entre "lo difícil que es resolverla" y "lo difícil que es enunciarla" (quizás utilizando la longitud de la prueba más corta en un lenguaje formal determinado). No me sorprendería que la mayoría de las preguntas matemáticas que maximizaran esta relación en un sentido adecuado fueran preguntas elementales sobre los números enteros. ¿Por qué? Supongo que es una pregunta filosófica. Quizá los números enteros sean los primeros objetos "altamente no triviales" de las matemáticas, en caso de que los objetos de las matemáticas se ordenen según la longitud de su definición. Pero en realidad, no tengo ni idea.
[La pregunta en el cuerpo de la OP es un poco diferente de la pregunta en el título, y me parece más interesante. Así que esa es la pregunta a la que respondo].
Es común centrarse en el hecho de que es fácil enunciar problemas de teoría de números, ya que los conceptos básicos de la teoría de números son bastante elementales. Esto es cierto, pero creo que merece la pena señalar otro aspecto de la teoría de números que puede hacer que sus problemas sean difíciles, y es que la naturaleza elemental del enunciado de ciertos problemas puede desmentir las estructuras ocultas que subyacen a su naturaleza más profunda y (eventualmente) a su solución.
Por ejemplo, considere el problema de escribir números primos de la forma $x^2 + n y^2$ . En $n = 1$ hay una obstrucción de congruencia obvia mod $4$ para resolver $p = x^2 + y^2$ lo que implica que si $p$ es impar, entonces de hecho $p \equiv 1 \bmod 4$ . Fermat demostró que esta condición necesaria es también suficiente.
Del mismo modo, si queremos escribir $p = x^2 + 5y^2$ entonces si $p \neq 2, 5$ hay son obstrucciones obvias: $p$ debe ser un mod cuadrado $5$ y debe ser una suma de cuadrados mod. $4$ y, por tanto $1 \bmod 4$ . Todo ello implica que $p \equiv 1$ o $9 \bmod 20$ . De nuevo, Fermat (creo) demostró que esta condición necesaria es suficiente.
Ahora considere escribir $p = x^2 + 23y^2$ . No hay obstrucción mod $4$ , por lo que el único obstáculo evidente es que $p$ debe ser un mod cuadrado $23$ . Sin embargo, esta condición necesaria ya no es suficiente. Por ejemplo $p = 13$ es un cuadrado mod $23$ pero no se puede escribir de la forma $x^2 + 23y^2$ y lo mismo ocurre con $p = 29$ . (De hecho $p = 59$ es el primer primo que puede escribirse así).
La comprensión de este fenómeno condujo a muchos descubrimientos profundos de la estructura en la teoría de números, como la reciprocidad cuadrática y la teoría de las formas cuadráticas de Gauss. Éstas, a su vez, contribuyeron en gran medida al desarrollo de la teoría algebraica de números y la teoría de campos de clases. Desde un punto de vista moderno, la diferencia entre el caso $n = 23$ y los otros que consideré es que el grupo de clase de $\mathbb Z[(1+\sqrt{-23})/2]$ no es un producto de grupos cíclicos de orden $2$ --- es de hecho un grupo de orden $3$ .
Otro ejemplo son las fórmulas de sumas de cuadrados.
Existe una fórmula para el número de formas de escribir un número como suma de dos cuadrados: $$r_2(n) = 4\sum_{d |n} \chi(d),$$ donde $\chi(d) = \pm 1$ si $d \equiv \pm 1 \bmod 4,$ y $0$ si $d$ es par.
También existe una fórmula para el número de formas de escribir un número como suma de cuatro cuadrados: $$r_2(n) = 8 \sum_{d | n, 4\not\mid n} d.$$
Existen fórmulas similares para sumas de seis u ocho cuadrados, pero no para sumas superiores a número de cuadrados. Es difícil entender esto sin darse cuenta de que estas fórmulas se rigen por la estructura de ciertos espacios de formas modulares, que no contienen cuspformas en pesos bajos, pero que eventualmente contienen cuspformas, para las que no se dispone de fórmulas elementales.
Hay una enorme cantidad de estructura presente en la teoría de números, a pesar de la forma elemental en la que se pueden plantear algunos de sus problemas. Creo que ésta es una de las razones por las que sus problemas pueden ser tan difíciles de resolver; porque su enunciado a menudo no hace evidente esta estructura, pero encontrarla es necesario para resolver los problemas. (La hipótesis de Riemann puede considerarse una ilustración actual de esta dificultad).
Tuve un profesor de matemáticas (teoría elemental de números) que bromeaba con la hipótesis de que esto se debía a que vivimos en un mundo continuo, por lo que las pruebas son más obvias en análisis que en teoría de números. ¿"Teorema del valor intermedio"? ¡Es una función continua! Lo has dibujado sin levantar el lápiz del papel. ¿A quién se le ha ocurrido?"
Como indicó DavidH en un comentario, probablemente sabemos por qué la teoría de números es capaz de producir un número ilimitado de problemas abiertos. Como todavía nadie ha intentado explicarlo, intentaré dar algunas indicaciones. (Si alguien más se toma la molestia de explicarlo mejor, con mucho gusto eliminaré esta respuesta). Creo que está relacionado con la solución de Décimo problema de Hilbert pero ya el teorema de incompletitud más antiguo de Gödel da una razón profunda.
Creo que lo importante de los subconjuntos ("definibles" de los) números naturales es que permiten emular la operación de un categoría cartesiana cerrada . Encontrar una función de emparejamiento es bastante fácil, y Cantor ya describió algunas funciones de emparejamiento sencillas (y sus inversas). Mientras que las funciones de emparejamiento proporcionan un medio para emular el producto $X\times Y$ de dos objetos $X$ y $Y$ (tenga en cuenta que $X\times Y$ no es más que otro objeto, y todos los objetos son subconjuntos "definibles" de los números naturales en este contexto), emulando la exponencial $Z^Y$ de dos objetos es mucho menos evidente. Tiene que describir las funciones "definibles" de $Y$ a $Z$ . (En realidad no estoy completamente seguro de lo que tiene que describir. Debe describir las "flechas" entre el subconjunto "definible $Y$ y el subconjunto "definible $Z$ y acabo de adivinar que estas son las funciones "definibles" entre $Y$ y $Z$ .) Lo interesante es que "Yuri Matiyasevich utilizó un método con números de Fibonacci para demostrar que las soluciones de las ecuaciones diofánticas pueden crecer exponencialmente", es decir, la exponenciación aparece aquí en dos significados diferentes pero relacionados.
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