Hacer máxima adecuada de los subcampos de los números reales existen?

Question

Para aclarar el problema, considere el campo de ${\Bbb R}$ como un campo de extensión de ${\Bbb Q}$ mediante el uso de algún tipo de Hamel. ¿Existe un campo de $F\subsetneq{\Bbb R}$ tal que $F(\sqrt{2})={\Bbb R}$ (o $F(x)={\Bbb R}$ para cualquier otro irracional $x$)? Si $(z_\alpha)_{\alpha<{\frak c}}$ es una base para ${\Bbb R}$ ${\Bbb Q}$- espacio vectorial tal que $z_0=\sqrt 2$, $F={\Bbb Q}(z_1,z_2,\dots,z_\alpha,\dots)$ (donde todos los $z_\alpha$ son contiguos para $0\ne \alpha<{\frak c}$) debe ser un campo en el que no contengan $\sqrt2$, aunque $F(\sqrt2)={\Bbb R}$. (Estoy usando ese $\sqrt{2}$ es algebraicas de grado $2$ en este argumento para probar que el $\sqrt{2}\notin F$, aunque probablemente no es necesario.)

Mi pregunta se relaciona con el proceso utilizado para determinar este campo. Como se puede ver, he usado un no constructiva prueba utilizando una base de Hamel (y el axioma de elección, de manera implícita), y esto no es filosóficamente satisfactoria para mí. Es allí una "explícita" la prueba de la existencia de un campo de $F$, y hacer sus elementos tienen cualquier agradable caracterización? Es $F$ se determina únicamente por las propiedades de $F\subsetneq{\Bbb R}$$F(\sqrt{2})={\Bbb R}$? ¿Cuáles son las propiedades finales de $G:={\Bbb R}\setminus F$?

Edit: parece que la construcción anterior no funciona, y hay buenas razones por las que el $F$ descrito anteriormente no existe. Me gustaría parche de mi construcción en lugar especificando que $F\subseteq{\Bbb R}$$\sqrt2\notin F$, e $F$ es máxima en el sentido de que no existe una adecuada extensión de campo $F(\alpha)$ la satisfacción de las mismas propiedades. Seguramente esta definición de trabajo por el lema de Zorn, aunque dudo que ese $F$ es único. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Un campo de $F$ no existe.

Supongamos por el contrario que $F$ es un campo con las propiedades de $\sqrt2\notin F$, $F(\sqrt2)=\mathbb{R}$. En ese caso no existe un no-trivial $F$-automorphism $\sigma$ $F(\sqrt2)$ con la propiedad $\sigma(z)=z$ todos los $z\in F$$\sigma(\sqrt2)=-\sqrt2$.

Esto se contradice con el hecho conocido de que el campo de $\mathbb{R}$ no tiene no trivial de automorfismos. Voy a describir los pasos en el argumento en el caso de que usted no ha visto antes. A continuación $\tau$ es arbitraria automorphism de $\mathbb{R}$.

1. Tenemos $\tau(q)=q$ para todos los números racionales $q$.
2. El automorphism $\tau$ mapas de cualquier plaza, en el campo de $\mathbb{R}$ a (posiblemente) un cuadrado.
3. Un número real es un cuadrado, el fib es no negativo, por lo que en el Paso 2 $\tau$ mapas de cualquier número real positivo a un número real positivo.
4. En el campo de $\mathbb{R}$ tenemos $x\le y\Leftrightarrow y-x\ge0$. Por lo tanto el Paso 3 implica que el automorphism $\tau$ es estrictamente creciente como una función real.
5. Paso 4 implica que $\tau$ es continua en todos los de $\mathbb{R}$. Por lo tanto, sus puntos fijos forman un conjunto cerrado.
6. El (topológico) cierre de $\mathbb{Q}$ es de $\mathbb{R}$, por lo que la combinación de los Pasos 1 y 5 se muestra que la $\tau(x)=x$ para todos los números reales $x$.

Answer 2

Hay un teorema que si $[\bar{F} : F]$ es finito (donde $\bar{F}$ es la clausura algebraica de $F$),$\bar{F} = F(\mathbf{i})$. por ejemplo, esto significa $[\bar{F} : F] \in \{1, 2, \infty\}$.

Si hay un campo $F$ tal que $F(\sqrt{2}) = \mathbb{R}$, luego

$$ [\bar{F} : F] = [\mathbf{C} : F] = [\mathbf{C}:\mathbf{R}][\mathbf{R}:F] = 2 [\mathbf{R}:F] $$

Toda la información anterior implica que $[\mathbf{R}:F]=1$, y por lo $F = \mathbb{R}$.

Answer 3

No sólo es su construcción no filosóficamente satisfactoria, siento decir que también es errónea. A pesar de $z_0=\sqrt 2$ $\Bbb Q$-linealmente independiente de los otros $z_i$, va a estar realmente en el campo de $F$, en otras palabras es un cociente de un polinomio expresiones en la otra $z_i$.

De hecho, no hay campos que $\Bbb R$ es de un número finito de grados (aparte de$~1$) algebraica de la extensión de la misma. Como Jyrki Lahtonen explicó la existencia de un campo implicaría que $\Bbb R$ como un campo no-trivial de automorfismos, pero no. Creo que hay una aún más plumazo (pero ya que no tengo ninguna idea acerca de su prueba espero que alguien me corrija o proporcionar una referencia), que dice:

Si cualquier algebraicamente cerrado de campo es un número finito de grados de la extensión de cualquier otro campo, luego de que grado es $1$ o $2$.

O, equivalentemente, (supongo), la automorphism grupo de un algebraicamente cerrado de campo pueden tener elementos de orden finito $1$ o $2$ solamente. Por cierto esto no quiere decir que el complejo de conjugación es la única automorphism de $\Bbb C$ orden$~2$, hay muchos de ellos (dando lugar a la "extraña copias" de $\Bbb R$ dentro $\Bbb C$). Sin embargo, dos de estos elementos generan un infinito subgrupo de $\operatorname{Aut}(\Bbb C)$.

Dado que el grado de $\Bbb C$ sobre su hipotética campo $F$ sería dos veces el grado de $\Bbb R$$F$, debe quedar claro que la afirmación anterior, descarta la existencia de$~F\subsetneq\Bbb R$.