$|\phi(G):\phi(H)|$ divide $|G:H|$

Question

Deje $\phi$ ser un homomorphism definido en un grupo finito $G$, y deje $H\subseteq G$. Mostrar que $|\phi(G):\phi(H)|$ divide $|G:H|$.

No muy seguro de por dónde empezar en esto. Tenemos un teorema diciendo que $\phi(H)$ es un subgrupo de $\phi(G)$, pero ¿qué es $|\phi(H)|$? Si $H$ contiene el kernel $N$$\phi$, entonces creo que todo se comporta muy bien y $|\phi(G):\phi(H)|=|G:H|$. Pero si $N\not\subseteq H$, no sé lo que puedo concluir.

Answer 1

En una respuesta se afirma que $G$ debe ser finito, en una respuesta se afirma que sólo tenemos que $|G:H|$ es finito. De hecho, no la finitud suposiciones son necesarias (por otro lado, en el caso infinito, la declaración es bastante aburrido debido a cardenal de la aritmética).

Aquí es una alternativa bijective prueba, que es tal vez más conceptual y funciona sin ningún finitud supuestos: El mapa de $G/H \to \phi(G)/\phi(H), [g] \mapsto [\phi(g)]$ es un bien definido surjective homomorphism de $G$-conjuntos. Por lo tanto, es suficiente para probar:

Lema. Si $f : X \to Y$ es un surjective homomorphism de $G$-conjuntos y $X$ es transitiva, entonces $|Y|$ divide $|X|$. Es decir, si $y_0 \in Y$,$|X|=|Y| \cdot |f^{-1}(y_0)|$.

Prueba: Desde $f^{-1}(gy)=g f^{-1}(y)$, cada fibra de $f$ tiene la misma cardinalidad $N$. A continuación, $X = \coprod\limits_{y \in Y} f^{-1}(y)$ (en conjunto) testigos $|X| = |Y| \cdot N$. $\square$

Por el camino, aplicando el Lema a $G/K \twoheadrightarrow G/H$ de los subgrupos $K \subseteq H \subseteq G$, se obtiene del Teorema de Lagrange $|G:K|=|G:H| \cdot |H:K|$. También es útil en otros contextos.

Answer 2

Lo importante es lo finito, entonces tenemos que

$$|G:H|=|G|/|H|\text{,}$$

$$|\phi(G):\phi(H)|=|\phi(G)|/|\phi(H)|$$

y

$$|H:H\cap\ker\phi|=|H|/|H\cap\ker\phi|\text{.}$$

Aquí, recuerdo que por el primer teorema de isomorfismo y la finitud

$$|\phi(G)|=|G:\ker\phi|=|G|/|\ker \phi|$$

y

$$|\phi(H)|=|H:H\cap\ker\phi|=|H|/|H\cap \ker \phi|\text{.}$$

Ahora, ¿ves que todo se reduce a dividir y reorganizar los términos con el fin de obtener la quería de divisibilidad?