Hamiltoniana para Geodésica de Flujo

Question

Estoy tratando de demostrar que geodésica de flujo en la cotangente del paquete de $T^* M$ es generado por el campo vectorial Hamiltoniano $X_H$ donde

$$H = \frac{1}{2}g^{ij}p_i p_j$$

pero estoy atascado. Podía alguien me muestre cómo completar el cálculo, o cuando he cometido un error? Saludos!

Sé que el vector de campo para geodésica de flujo es

$$X = p^i \partial/\partial x^i - \Gamma^i_{jk}p^j p^k \partial /\partial p^i$$

así que debe de verificar que

$$X \ \lrcorner\ \omega = - dH$$

donde $\omega = dp_i \wedge dx^i$. Es fácil comprobar que

$$X \ \lrcorner\ \omega = - p^i dp_i - \Gamma^l_{jk}g_{li}p^j p^k dx^i$$

$$-dH = -g^{ij}p_j dp_i -\frac{1}{2}\partial_i g^{jk}p_j p_k dx^i$$

Aquí estoy atascado. Utilizando la fórmula explícita para los símbolos de Christoffel en términos de la métrica no parece funcionar! He hecho algo mal, o me estoy perdiendo algo?

N. B. soy consciente de soluciones que no utilizan las coordenadas, pero me gustaría entender esto que hace!

Answer 1

Me he dado cuenta de mi error - el campo vectorial $X$ anterior es incorrecto. La sutileza viene en subida y bajada del índice correspondiente.

En primer lugar, que todos estamos de acuerdo que el siguiente campo vectorial de la recta tangente paquete genera geodésica de flujo

$$Y = p^i \partial/\partial x^i - \Gamma^i_{jk} p^j p^k \partial/\partial p^i$$

donde $(x^i, p^i)$ están las coordenadas de $TM$.

Ahora queremos usar la tangente-la cotangente del isomorfismo para determinar un campo de vectores en $T^*M$, que también le da geodesics después de la proyección. Escribir las Odas para geodésica de flujo

$$\dot{x}^i = p^i $$ $$\dot{p}^i = -\Gamma^i_{jk}p^j p^k$$

Ahora defina $p_i = g_{ij}p^j$ y calcular

\begin{align*}\dot{p}_i &= g_{ij,k}\dot{x}^k p^j + g_{ij}\dot{p}^j \\&= g_{ij,k}p^j p^k - g_{il}\Gamma^l_{jk}p^jp^k \\ &= p^j p^k(g_{ij,k} - g_{ij,k} + \frac{1}{2}g_{jk,i}) \end{align*}

Por lo tanto la correcta campo de vectores para geodésica de flujo en $T^* M$ es en el hecho de

\begin{align*}X &= g^{ij}p_j \frac{\partial}{\partial x^i} + \frac{1}{2}\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i} p^j p^k \frac{\partial }{\partial p_i}\\ &= g^{ij}p_j \frac{\partial}{\partial x^i} - \frac{1}{2}\frac{\partial g^{jk}}{\partial x^i} p_j p_k \frac{\partial }{\partial p_i} \end{align*}

por el subir y bajar los índices, y el uso de la derivada de la inversa de una métrica. Ahora está de acuerdo con esto $-dH$ en la pregunta, después de la contratación con $\omega$.