¿Por qué se $e$ $\pi$ tan común como los resultados de los campos aparentemente no relacionados?

Question

Estoy seguro de que esto se pregunta todo el tiempo pero te juro que busqué en google sin resultados fructíferos. Lo que estoy buscando es una razonable respuesta intuitiva.

Los dos constantes tienen algunos bastante interesantes propiedades. $\pi$ se utiliza a menudo en la geometría, mientras que $e$ es, por ejemplo, se utiliza en las estadísticas, sin embargo, $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}=\sqrt \pi$

Extraño ¿cierto? Vamos que es raro para mí.

$e$ sí es bastante inusual. Es tanto el $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ y el límite de $(1+\frac{1}{n})^n$. Personalmente, he hecho pruebas de que los dos convergen en el mismo número, pero yo realmente no puedo decir que tengo la razón.

Luego está la famosa $e^{i\pi}=-1$

Esto puede no ser una coincidencia, ¿verdad? De hecho, viendo cómo hay no sólo una infinidad de números irracionales, sino un sinnúmero de uno, literalmente, no puede ser una coincidencia.

Debe haber algún nivel de disección en que se puede decir "a Ver, no hay correo. Si se añade 1 a esto conseguimos $\pi$".

Por ejemplo, decir que nos dirigimos a las mesas. $\cos(\pi)=-1$ $\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1$ . Yo podría decir que es bastante raro, ¿cómo estas cosas no relacionadas tienen esos números como sus resultados. $-1$ $1$ pop-up en todas partes, ¿verdad? La explicación intuitiva es que, obviamente, eligió esas dos cosas en concreto porque yo sé lo que sus resultados son. Como por lo que su conexión es, obviamente provienen de la misma "fábrica". Ambos son números enteros que usted consigue con un ligero incremento o decremento de cero.

De hecho, yo estaría dispuesto a apostar que los números enteros con sus valores absolutos menos de, digamos, 10 pop-up muy a menudo, y la explicación de que es el mismo que el anterior.

Así que ¿cuál es el trato con los irrationals? Ellos no son contables. Usted no sólo puede añadir uno a uno de ellos para obtener la otra. ¿Cuál es su común "de fábrica"?

La esencia de lo que estoy diciendo es, $e$ $\pi$ mostrar todo el tiempo no relacionados circunstancias y que incluso parecen saber el uno del otro. Su relación, sin embargo, se me escapa.

Answer 1

$e$ no es importante. Lo importante es la función de $e^x$, que es un vector propio de la diferenciación operador $f \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}$ con autovalor $1$. La diferenciación es importante, por ejemplo, porque nos permite plantear las ecuaciones diferenciales, y los vectores propios de la diferenciación son importantes porque nos ayudan a resolver ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales son importantes en muchos campos, aunque la conexión es más difícil de ver en algunos campos que en otros.

$\pi$ es importante porque está estrechamente relacionada con el período de $e^x$, considerado como una analítica de la función de tomar en el complejo de valores, que es lo importante. Más precisamente, es importante porque de $e^{x + 2 \pi i} = e^x$. Básicamente, cada aspecto de $\pi$ en matemáticas I, incluyendo su relevancia para la circunferencia de un círculo, se puede remontar de nuevo a este.

Answer 2

Delimitada sumas, y limita las diferencias.

• $\pi$ es la constante del círculo cuya ecuación algebraica es $x^2+y^2=r^2$.

• e es la base del logaritmo natural, cuya derivada es la hipérbola cuya ecuación algebraica puede ser escrito como $x^2-y^2=r^2$, a raíz de una rotación de $45^\circ$.

Así que definen las formas geométricas de la forma $x^2\pm y^2=r^2$. Para el imaginario de los valores de y, el círculo se convierte en una hipérbola, y vice-versa. Por lo tanto, mezclando e imaginarias de los exponentes, tenemos una parametrización de la unidad de círculo.