Son Dummit y Foote cometer un error en la demostración de teorema de Cohen?

Question

Ejercicio 11 en la página 669 (este es el Capítulo 15) quiere demostrar Cohen del teorema de que si cada primer ideal de un anillo a es f.g. a continuación, cada ideal es f.g. que es el anillo es noetherian. La culta (tal vez?) la solución es que el conjunto de finitely generado ideales de un anillo es una Oka familia, y la máxima de los elementos en el complemento de un Oka familia de ideales son principales. Ahora, supongamos $I$ es un ideal maximal wrt para no finitely generado. Tal ideal existe, si la familia de ideales que se nonfinitely generado es no vacío por el lema de Zorn. Ahora supongamos $x,y\notin I$. Voy a demostrar que $xy\notin I$. Ahora D&F sugiere la siguiente línea de ataque.

$(a)$ Demostrar que si la colección de ideales de R que no son f.g. es no vacío, entonces contiene un elemento maximal $I$, e $R/I$ es noetherian.

De verificación.

$(b)$ Demostrar que hay finitely generado ideales $J_1,J_2$ contiene $I$ $J_1J_2\subseteq I$ y $J_1J_2$ es f.g. Observar que $I$ no es un alojamiento ideal.

Aquí estoy perplejo. Esto es falso! [Sí, el punto es que estamos suponiendo que el primer ideales son f.g. Por lo tanto llegar a una contradicción.]

$(c)$ Demostrar que $I/J_1J_2$ es un finitely generadas $R/I$ submódulo de $J_1/J_1J_2$

$(d)$ Mostrar esto implica $I$ es finitely generado más de $R$, lo cual es una contradicción. Deducir que $R$ es noetherian.

No estoy de ver dónde están utilizando la hipótesis de que el primer ideales son finitely generado. He demostrado que no f.g. ideales implica no f.g. los números primos, pero aquí parecen estar llegando a la conclusión de que $R$ es noetherian, de alguna manera. [Ellos están demostrando que si todos los números primos son f.g. a continuación, $R$ es noetherian, no que si $R$ no es noetherian, a continuación, hay un no f.g. primer]

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Ahora, permítanme usar de D&F idea de mostrar a $I$ es realmente privilegiada. Tome $x,y\notin I$. A continuación, $J_1=I+(x)$ $J_2=I+(y)$ mentira estrictamente $I$ lo son f.g., por lo tanto $J_1J_2$ es. Ahora, si $xy\in I$,$J_1J_2\subseteq I$. Desde $I$ es máxima wrt a no ser f.g. claramente $R/I$ es noetherian. Tenga en cuenta que si $r-r'\in I$$p+ax\in J_1$$(r-r')(p+ax)=(r-r')p+(r-r)'ax\subset I^2+ I(x)\subseteq J_1J_2$, por lo que tenemos bien definida la acción de $R/I$$J_1/J_1J_2$$I/J_1J_2$. Desde $R/I$ noetherian y $J_1/J_1J_2$ es f.g., es noetherian y, por tanto, $I/J_1J_2$ es f.g. como un $R/I$ módulo, es decir, $I+J_1J_2=I$ es una f.g. $R$ módulo, lo cual es imposible. Por lo tanto $xy\notin I$; por lo $I$ es primo.

Así que, estoy completamente ausente el punto en algún lugar o se trata de un error honesto en D&Fs exposición?

Answer 1

$I$ no prime (porque es maximal entre los no-f.g. ideales, y todos los primos son los ideales f.g. por hipótesis) implica que hay dos ideales $I_1,I_2$ tal que $I_1I_2\subseteq I$, pero $I_1\nsubseteq I$, e $I_2\nsubseteq I$. Ahora tome $J_i=I_i+I$ y observar que $J_1J_2\subseteq I$, e $I\subsetneq J_i$, lo $J_i$ f.g.

Answer 2

El ideal de $I$ no puede ser un primo, porque por (a) $I$ no es finitely generado (el ideal $I$ es máxima en la colección de la no-finitely generado ideales, pero no es necesariamente un ideal maximal!). Si $I$ fueron la principal, $I$ sería finitely generado por supuesto en $R$, una contradicción. Por lo tanto, $I$ no es primo ; esto significa que existe dos principales ideales $J_1 = (x_1)$, $J_2 = (x_2)$ tal que $x_1 x_2 \equiv 0 \pmod{I}$, es decir,$J_1 J_2 \subseteq I$. Esto es lo que D&F, que significa "Observar que $I$ no es un alojamiento ideal", y es una correcta observación.

P. S. : Te están demostrando una declaración por la contradicción, por supuesto, usted podría encontrar afirmaciones que son falsas en general, pero ese es precisamente el punto.

Espero que ayude,

Answer 3

Estamos asumiendo $R$ es un anillo en el que cada primer ideal es f.g., por lo $I$ no f.g. debe ser que no prime (esta es la de "Observar $I$ no es primo"). Esto garantiza la existencia de $J_1,J_2$ como en la prueba en el post. El punto es que, como se ha podido comprobar, cualquier ideal es principal. Inevitablemente llegamos a una contradicción, a saber, que $I$ es tanto f.g. y no f.g., lo que significa que el conjunto de ideales que no son finitely generado debe estar vacío, por lo $R$ es noetherian. Alternativamente, estamos demostrando que en cualquier noetherian anillo no sólo no son f.g. ideales, pero siempre hay no f.g. el primer ideales. Espero que la confusión que había causado se borra.