Cuando canonizamos de manera canónica el campo escalar en QFT, usamos una medida de integración invariante de Lorentz dada por $$\widetilde{dk} \equiv \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega(\textbf{k})}.$$
¿Cómo puedo demostrar que es invariante de Lorentz?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para demostrar que esta medida es invariante ante transformaciones de Lorentz, primero necesitas escribir explícitamente tu integral como una integral sobre la cáscara de masa en el espacio k de 4 dimensiones. Esto se puede hacer insertando la función delta de Dirac $\delta[k^\mu k_\mu-m^2]$ e integrando sobre todo el espacio 4D.
Luego puedes aplicar las siguientes transformaciones: \begin{align} \theta(k_0)\cdot\delta[k^\mu k_\mu-m^2] &= \theta(k_0)\cdot\delta[k_0^2-|\mathbf{k}|^2-m^2]\\ &=\theta(k_0)\cdot\delta\left[(k_0-\sqrt{|\mathbf{k}|^2+m^2})(k_0+\sqrt{|\mathbf{k}|^2+m^2})\right]\\ &=\frac{\delta\left[k_0-\sqrt{|\mathbf{k}|^2+m^2}\right]}{2\,k_0}, \end{align} donde la función de Heaviside $\theta(k_0)$ se utiliza para seleccionar solo la parte futura de la cáscara de masa.
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Hola OMe. Si aún no lo has hecho, por favor tómate un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta tarea, y la política de Phys.SE para problemas similares a tareas.
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@Qmechanic: No estaba al tanto de la política. He eliminado la etiqueta ya que no es un deber.
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Relacionado: physics.stackexchange.com/q/53534
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Esta es definitivamente una tarea escolar. No te sientas menospreciado porque tu pregunta haya sido etiquetada como tal, realmente significa que tu pregunta es simplemente sobre resolución de problemas. Puedes mejorar tu pregunta, por cierto, mostrando tu esfuerzo y formulando una pregunta conceptual. Tu pregunta podría entonces ser reabierta. Si haces eso, solo házmelo saber aquí, usando "@DIMension10", y votaré para reabrirla. Por cierto, no soy quien te dio el voto negativo.
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+1 para esta pregunta y señalando al moderador, por la siguiente razón: "Esta pregunta pertenece a las importantes preguntas conceptuales (así como técnicas de hecho) y obstáculos que suelen obstaculizar la comprensión de la TQF. ¡Sin duda es útil para un público amplio!"
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Permíteme ahora aclarar por qué esto es de gran importancia y sutileza conceptual: parece al principio que uno integra en $\mathbb{R}^3$ los espacios vectoriales habituales. Esto tiene sentido, pero en primer lugar, no es un subespacio estable de $\mathbb{R}^4$ bajo los boost y en segundo lugar, la medida no sería invariante. (Sugiero que las personas que cerraron la pregunta escriban explícitamente la medida de la imagen). El punto crucial es que uno integra en una subvariedad invariante de Lorentz (el conjunto de 4-vectores $k^{\mu}$ tales que $k^{\mu} k_{\mu}=m^2$). Así que ahora vemos que estamos tratando con la integración de...
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Una función en una subvariedad de 3 dimensiones de $\mathbb{R}^4$. La segunda dificultad es que la medida de Lebesgue en este espacio induce una medida en la subvariedad. A partir de aquí, desconozco los detalles matemáticos, pero existen varias visiones: la respuesta a continuación utiliza la distribución de Dirac y la fórmula $\delta(f(x)) = \sum_{x_i \in f^{-1}(0)} \frac{\delta(x-x_i)}{f'(x_i)}$, lo cual por sí mismo merece una explicación. La segunda visión es permanecer en el marco de las medidas, por ejemplo, medidas de ???-Stieltjes.
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Para aquellos a quienes les gusta tener una visión general y ligeramente más abstracta, la pregunta muy natural es cómo encontrar una medida invariante en las órbitas (aquí el hiperboloide de la masa-cáscara) bajo un grupo (aquí Lorentz), órbitas que son subvariedades de algún espacio que está equipado con una medida.
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Valor absoluto que falta en mi fórmula con delta en el comentario anterior²
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enlace. Posible referencia sobre el aspecto matemático "Un curso sobre integración, Nicolas Lerner" (2014), §5.5 p.238.
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La tarea 1.4.7 del libro de Robin Ticciati parece sugerir que esto se puede hacer directamente evaluando el determinante del Jacobiano y factorizando $\Lambda$ apropiadamente. ¿Alguien sabe cómo hacer esto?