Isomorfismo de anillos implica isomorfismo de espacios vectoriales?

Question

Deje $A$ $B$ ser isomorfo unitario de los anillos. Supongamos que ambos de ellos admite una estructura de (tal vez finito dimensionales) espacio vectorial sobre algún campo $k$. Me gustaría saber si, a continuación, $A$ $B$ son isomorfos como espacios vectoriales sobre $k$ (si están obligados a tener la misma dimensión). Observe que, en general, yo no soy de los que requieren $A$ $B$ $k$- álgebras, es decir, estoy que no requieren ningún tipo de compatibilidad entre la estructura multiplicativa y el producto por escalares del campo. Mi conjetura es que, en esta generalidad, la respuesta es no, pero no puedo ofrecer ni encontrar ningún ejemplo.

Aquí recojo algunas de las cosas que puedes probar:

1) si el campo es $k=\mathbb{Q}$ $A$ $B$ $k$- álgebras, entonces la respuesta es sí.

2) si el campo es $k=\mathbb{R}$, $A$ y $B$ $k$- álgebras y ellos son los campos, entonces la respuesta es sí, una vez más.

3) si $A$ $B$ son finitos $k$-álgebras (y por lo $k$ es finita) la respuesta es sí, una vez más.

Por desgracia, estas descartar la mayoría de los ejemplos de un primer curso en el anillo de la teoría, por lo que sospecho que la respuesta sería más exótico que esta, pero no puedo encontrar nada de nada. Tal vez la respuesta es sí, incluso en la configuración general (o tal vez sólo por $k$-álgebras), y en este caso me gustaría ver una prueba.

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongo que usted quiere tanto el anillo y el espacio vectorial de las estructuras de compartir el mismo abelian la estructura del grupo. $A = B = \mathbb{R}$. Dar $A$ la estructura de $\mathbb{R}^n$ y dar $B$ la estructura de $\mathbb{R}^m$, $n \neq m$. Usted puede hacerlo porque $\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^m$ como espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ y por lo tanto como abelian grupos, dado el axioma de elección.

Para probar esto, considere la posibilidad de una base de Hamel $X$ $\mathbb{R}$ más de $\mathbb{Q}$. $\operatorname{card} X = \mathfrak{c}$, por lo tanto $X^m \cong X \cong X^n$ como conjuntos, lo que induce el isomorfismo de $\mathbb{R}^m \cong \mathbb{R} \cong \mathbb{R}^n$.

Edit: para el downvoters: por favor proporcione una razón.