Cómo saber si un sistema es reducido de su functor de puntos?

Question

Supongamos que tengo un esquema de $X$ y quiero saber si $X$ es reducido, pero todo lo que tengo acceso es el functor $$ R\mapsto X(R)=Mor(\operatorname{Spec}(R),X) $$

desde conmutativa anillos de conjuntos (en lugar de, digamos, un explícito cubrimiento por los espectros de algunos de los anillos). ¿Hay algún buen criterio para esto?

Algunos pensamientos: El universal propiedad de la reducción es que cada mapa a partir de un esquema de reducción de $Y$$X$, los factores de forma exclusiva a través de $X_{red}$. Por lo tanto, reducedness de $X$ parece ser: "en la dirección opuesta" en el sentido de que dice algo acerca de morfismos de $X$ (que siempre factor a través de la reducción de la meta), en lugar de morfismos a $X$.

Answer 1

No sé cómo caracterizar la imagen de$\mathsf{Sch}_{\mathsf{red}}$$\mathsf{Set}^{\mathsf{CRing}}$. Pero permítanme mencionar dos cosas que están relacionadas con esa pregunta.

1. Recordemos que $\mathsf{Sch}$ equivale a la subcategoría de $\mathsf{Set}^{\mathsf{CRing}}$ que consta de poleas en la topología de Zariski en $\mathsf{CRing}^{\mathrm{op}}$ (también llamada local functors en este contexto) en que se admite un cubrimiento por abiertos representables, la costumbre de referencia para este functorial punto de vista es el libro Groupes algébriques por Demazure y Gabriel. Desde que se reduce es una propiedad local, básicamente, la misma prueba funciona con la reducción de los esquemas de resp. conmutativa anillos. Por lo tanto, $\mathsf{Sch}_{\mathrm{red}}$ equivale a la subcategoría de $\mathsf{Set}^{\mathsf{CRing}_{\mathsf{red}}}$ que consta de poleas que tienen un proceso abierto que cubre por representables. No veo cómo extender la incrustación $\mathsf{Sch}_{\mathsf{red}} \hookrightarrow \mathsf{Sch}$ a un incrustar $\mathsf{Set}^{\mathsf{CRing}_{\mathsf{red}}} \hookrightarrow \mathsf{Set}^{\mathsf{CRing}}$, sin embargo. Tal vez la izquierda Kan obras de ampliación?

2. La categoría de reducción de anillos conmutativos $\mathsf{CRing}_{\mathsf{red}}$ es una categoría de Zariski en el sentido de Yves Diers libro "Categorías de álgebras conmutativas", por lo que podemos desarrollar la geometría algebraica en relación a eso. La resultante de la categoría de esquemas $\mathsf{Sch}_{\mathsf{red}}$ es isomorfo a los habituales de la categoría de la reducción de los esquemas (de esta manera se sigue por algunos abstractos tonterías en Diers libro aplicada a los desmemoriados functor $\mathsf{CRing}_{\mathsf{red}} \to \mathsf{CRing}$).