Para mostrar que un subgrupo de un grupo es normal, yo normalmente la construcción de un homomorphism cuyo núcleo es ese subgrupo. Hay principios generales o pruebas de que puedo usar para determinar que un subgrupo es no normal? O son tales afirmaciones generalmente demuestran ad hoc métodos?
En particular, me gustaría mostrar que $\textbf{SL}_n(\mathbb{Z})$ no es un subgrupo normal de $\textbf{SL}_n(\mathbb{R})$.
Cualquier ayuda es muy apreciada.
Pablo comentario es el camino a seguir aquí; usted quiere elegir un elemento $h$ en el subgrupo y encontrar algún otro elemento $g$ tal que $ghg^{-1}$ no está en el subgrupo.
La conjugación de una matriz esencialmente equivale a cambiar la base. Recoger algunas simples nonidentity elemento $h$ $SL_n(\mathbb{Z})$ y encontrar una base ortonormales en los que la correspondiente representación de la matriz tiene al menos una entrada que no es un número entero. Esto le dará una matriz ortogonal $g$ tal que $g^{-1}hg$ no $SL_n(\mathbb{Z})$.
Así, un enfoque es sólo el buen ol' de la moda de la conjugación. Aquí me acababa de elegir la cosa más fácil que pueda conjugar, ya que soy un vago! En este caso, resulta de la conjugación de los $\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}0 & 1/2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ va a trabajar.
No tengo una buena razón para creer en esto, pero yo sospecho que en la mayoría de los casos la normalidad debe fallar bastante mal: debe ser bastante probable que simplemente eligiendo al azar mostraría que el subgrupo no es normal (funcionó la primera, para mí). Es decir, espero que el normalizador de la $\mathbf{SL}_n(\Bbb Z)$ a no mucho (en todo caso!) mayor que $\mathbf{SL}_n(\Bbb Z)$ sí, aunque eso es pura especulación. Al menos, si este no fuera el caso, el problema sería mucho más difícil!
Más generalmente, es a menudo difícil de determinar exactamente por qué algo bonito no sucede; es raro que nos refutar un "teorema" por cualquier medio distinto de un contraejemplo. Algunas cosas simplemente no están destinados a ser...
Dado cualquier subgrupo $H$ de un grupo de $G$, usted puede describir su conjugado $gHg^{-1}$ conceptualmente como el estabilizador de la coset $gH$ con respecto a la acción de la $G$$G/H$. La intersección $\bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$ de estos conjugados es entonces el núcleo de esta acción. A veces se puede identificar en bastante explícita términos de la acción de la $G$$G/H$, y a partir de ahí que a veces es fácil calcular la intersección (y comprobar que es menor que $H$) incluso si es difícil de describir los conjugados de la $H$ explícitamente.
En su caso, podemos decir lo siguiente. En términos de la acción de $SL_n(\mathbb{R})$$\mathbb{R}^n$, se puede definir $SL_n(\mathbb{Z})$ a ser el subgrupo de estabilización de la norma de celosía $\mathbb{Z}^n$ en $\mathbb{R}^n$. $SL_n(\mathbb{R})$ actúa transitivamente sobre todas las celosías en $\mathbb{R}^n$ con estabilizador $SL_n(\mathbb{Z})$, y así el cociente $X = SL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{Z})$ puede ser identificado con el espacio de celosías en $\mathbb{R}^n$ (no está a escala o rotación o nada). El trivial de los conjugados de $SL_n(\mathbb{Z})$ puede ser identificada con el estabilizador de otros celosías en $\mathbb{R}^n$.
Esta acción está muy cerca de ser fieles: creo que cuando $n$ es incluso el kernel es generado por $-I$ e al $n$ es extraño que el kernel es solo trivial. Esto es sólo la declaración de que cualquier matriz en $SL_n(\mathbb{R})$ que no es $\pm I$ no logra estabilizar al menos una de las redes. Si usted cree que, de ello se sigue que la intersección de los conjugados de la $SL_n(\mathbb{Z})$ $SL_n(\mathbb{R})$ es $\pm I$ o trivial, y por lo $SL_n(\mathbb{Z})$ está muy lejos de ser normal.
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