Producto de conjuntos y supremum

Question

Deje $A$ $B$ ser conjuntos no vacíos de números reales positivos que están delimitadas por encima. También vamos a $AB = \{ab: a \in A, b \in B \}$. Demostrar que $AB$ está delimitado por encima y $\sup(AB) = (\sup A) (\sup B)$.

Por lo $\sup A$ $\sup B$ existir por completo. Una cota superior para $AB$$(\sup A)(\sup B)$. Deje $\alpha = \sup A$$\beta = \sup B$. Queremos mostrar que si $c$ es un límite superior para$AB$$\alpha \beta \leq c$. Para $a \in A$, $ab \leq c$ para todos los $b \in B$. Por lo $c/b$ es un límite superior para $A$. Por lo tanto $\alpha \leq c/b$. De ello se desprende que $\alpha \beta \leq c$.

Es esto correcto?

Answer 1

Deje $\alpha = \sup A$$\beta = \sup B$.

Para cada $a\in A$ $b \in B$ hemos

$$ab \leq \sup_{b\in B} a b = a \beta \leq \sup_{a\in A} a \beta = \alpha \beta,$$

así que tenemos $\sup AB \leq \alpha\beta$.

Ahora vamos a $(a_n)_{n\in \mathbb N} \subset A$ $(b_n)_{n \in \mathbb N} \subset B$ ser secuencias que $a_n \to \alpha$$b_n \to \beta$$n \to \infty$.

Es claro entonces, que el$(a_nb_n)_{n \in \mathbb N} \subset AB$$a_nb_n \to \alpha\beta$$n \to \infty$, lo $\sup AB \geq \alpha\beta$ y para ello contamos $\sup AB = \alpha \beta$.