¿La serie $1-\frac12+\frac12-\frac1{2^2}+\frac13-\frac1{2^3}+\frac14-\frac1{2^4}+\frac15-\frac1{2^5}+\cdots$ ¿convergen o divergen?

Question

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2^5}+\cdots$

He estado tratando de averiguar cómo escribir esta serie simbólicamente para poder examinar su límite, pero estoy teniendo problemas. Hasta ahora lo mejor que se me ha ocurrido es:

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}}\right)$

Pero, obviamente, lo anterior no reproduce correctamente la serie.

Answer 1

Dado que los términos van a $0$ la serie se puede reescribir como $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{2^k}\right)\tag{1}$$ Desde $$\begin{align} \sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{2^k}\right) &=\sum_{k=1}^n\frac1k-\sum_{k=1}^n\frac1{2^k}\\[3pt] &\ge\log(n+1)-1\tag{2} \end{align}$$ el límite en $(1)$ no existe.

Answer 2

Observe que $$S_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil\left(\dfrac{1}{i}\right)-\displaystyle\sum_{i=1}^\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor\left(\dfrac{1}{2^i}\right)\ge\left(\displaystyle\sum_{i=1}^\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\dfrac{1}{i}\right)-1$$ Como la secuencia de la suma parcial diverge, la serie también diverge.

Answer 3

Si se observan los términos con signos positivos, se trata de la Serie Armónica, por lo que es divergente. Mirando los términos negativos, es esencialmente una serie geométrica, factor $1/2$ por lo que es (absolutamente) convergente. Si se juntan, se obtiene una serie divergente. EDIT: Hice la suposición de que los términos pueden ser reordenados sin afectar a la suma de la serie. Hay que tener cuidado con esto ya que esto PUEDE cambiar el resultado de la suma de la serie. En particular, cuando las series de términos positivos y negativos están representadas por series condicionalmente convergentes. Sin embargo, en este caso, tenemos una serie divergente representada por los términos positivos, frente a una serie absolutamente convergente, representada por los términos negativos. En tal situación (tras una pequeña investigación) el resultado será siempre una serie divergente.

Answer 4

Denotemos la serie como $a_n;$ entonces claramente $\sum \mid a_n\ \mid$ es divergente. Por lo tanto, si $\sum a_n$ converge, entonces es una serie condicionalmente convergente.
Por Teorema de reordenación de Riemann en la página 7 podemos escribir $$\sum a_n=\sum a_n^++\sum a_n^-$$ sin reordenar los términos, donde $$a_n^+=max(a_n,0),\quad a^-_n=min(a_n,0).$$

Y, si $\sum a_n$ es condicionalmente convergente, entonces tanto $\sum a_n^+$ y $\sum a_n^-$ son divergentes. Pero claramente $\sum a_n^-=\sum -\frac{1}{2^n}$ converge, por lo que $\sum a_n$ no es condicionalmente convergente, y por tanto $\sum a_n$ diverge.

Espero que esto ayude.

P.D.

De hecho, podemos escribir explícitamente: $$\begin{align}a_{2n-1}^+&=\frac{1}{n}\\ a_{2n}^+&=0\\ a_{2n-1}^-&=0\\ a_{2n}^-&=\frac{-1}{2^{n}}\end{align}$$