Esferas sobre números racionales y otros campos

Question

Dejemos que K sea un campo ordenado. Definir el n -Esfera:

$$S^n(K) := \{ (x_1,x_2,\dots,x_n+1) \in K^{n+1} \mid \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 = 1 \}$$

Un conjunto de vectores $v_1, v_2, \dots, v_r \in S^n(K)$ es ortonormal si el producto punto de dos de ellas cualquiera es cero. Un base ortonormal es un conjunto ortonormal de cardinalidad $n + 1$ .

1. ¿Es cada vector en $S^n(K)$ un miembro de una base ortonormal? Si no es así, ¿cuál es el mayor r tal que todo vector es miembro de un conjunto ortonormal de tamaño r ?
2. En términos más generales, teniendo en cuenta n y s ¿Cuál es la mayor r tal que todo conjunto ortonormal en $S^n(K)$ de tamaño s está contenido en un conjunto ortonormal de tamaño r ?

Lo que se sabe:

1. Para $n = 1$ cada vector en $S^n(K)$ es un miembro de una base ortonormal, independientemente de K .
2. Si K es pitagórico (es decir, una suma de cuadrados es un cuadrado) todo conjunto ortonormal se completa con una base ortonormal (utilice Gram-Schmidt).

¿Se puede decir más? Lo que más me interesa es el caso de K el campo de los números racionales o un campo de números reales, y el caso $n = 2$ .

AGREGADO MÁS TARDE: Estoy asumiendo que K es un campo ordenado aquí. De lo contrario, tenemos que modificar nuestra definición de conjunto ortonormal para incluir también la condición de que los vectores sean linealmente independientes, lo que se cumple automáticamente para los campos ordenados. También se agradecerían las observaciones para campos no ordenados (como los campos de números no reales o los campos de característica positiva). MODIFICADO: Como señala Bjorn Poonen más abajo, la independencia lineal resulta ser automática en este caso. (Aunque en general, sobre campos no ordenados, pueden existir vectores ortogonales que sean linealmente dependientes, nuestra condición de que los vectores sean "normales" lo descarta).

Answer 1

Cualquier ortonormales conjunto se extiende a una base ortonormales, sobre cualquier campo de carácter no $2$. Este es un caso especial de Witt del teorema.

EDIT: En respuesta a Vipul comentario: La prueba de Witt del teorema es constructivo, y nos lleva a la siguiente algoritmo recursivo para la ampliación de una ortonormales set $\lbrace v_1,\ldots,v_r \rbrace$ a un ortonormales.

Deje $e_1,\ldots,e_n$ ser el estándar de la base de $K^n$ donde $e_i$ $1$ $i^{\operatorname{th}}$ coordinar y $0$ en otros lugares. Basta con encontrar una secuencia de reflexiones definido a lo largo del $K$ cuya composición mapas de $v_i$$e_i$$i=1,\ldots,r$, desde entonces el inverso de la secuencia de mapas de $e_1,\ldots,e_n$ a un ortonormales base se extiende $v_1,\ldots,v_r$. De hecho, basta con encontrar una secuencia de asignación sólo $v_1$$e_1$, ya que después de que nos están reducidas a un $(n-1)$-dimensional problema en $e_1^\perp$, y en el uso de la recursividad.

Caso 1: $q(v_1-e_1) \ne 0$ donde $q$ es de la forma cuadrática. A continuación, la reflexión en la hyperplane $(v_1-e_1)^\perp$ mapas de $v_1$$e_1$.

Caso 2: $q(v_1+e_1) \ne 0$. A continuación, la reflexión en $(v_1+e_1)^\perp$ mapas de $v_1$$-e_1$, de modo que siga esto con la reflexión en la coordenada hyperplane $e_1^\perp$.

Caso 3: $q(v_1-e_1)=q(v_1+e_1)=0$. Suma rendimientos $0=2q(v_1)+2q(e_1)=2+2=4$, una contradicción, por lo que este caso en realidad no surgir.

Answer 2

Para el caso de los números racionales y la unidad 2-esfera en el espacio 3 hay un artículo de Anthony Osborne y Hans Liebeck en el American Math Monthly v.96 (1989) que da una construcción (cerca del final del breve artículo) que parece mostrar que cada vector unitario racional se extiende a una base racional ortonormal. No he revisado los detalles de la construcción, pero parece bastante elemental, como cabría esperar para esta revista.