Hay $5$ cajas. Hay $5$ blanco y $3$ bolas negras en dos cajas, y $4$ blanco y $6$ bolas negras en las otras tres cajas. Se elige una caja al azar. $3$ las bolas se sacan al azar de la caja elegida.
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $2$ de las bolas elegidas son blancas?
- $A$ - la caja con $8$ se eligen las bolas
- $\bar{A}$ - la caja con $10$ se eligen las bolas
- $B$ - exactamente dos bolas elegidas son blancas
Hay $5$ cajas, $2$ cajas con $8$ bolas: $2/5$ . La elección de la caja y la toma de las bolas son eventos independientes, por lo que puedo multiplicar las probabilidades. Hay $8$ bolas en la caja, necesito tomar $3$ bolas $\binom83$ de los cuales $2$ son blancos $\binom52$ y $1$ negro $\binom31$ (hay $5$ bolas blancas y $3$ bolas negras):
$$P(B \mid A)=\frac{2}{5} \cdot \frac{\dbinom52 \dbinom31}{\dbinom83}$$
De la misma manera:
$$P(B \mid \bar{A})=\frac{3}{5} \cdot \frac{\dbinom42 \dbinom61}{\dbinom{10}3}$$
Así que ahora puedo calcular $P(B)$ :
$$P(B)=P(B \mid A) \cdot P(A)+P(B \mid \bar{A}) \cdot P(\bar{A})$$
¿Es esto correcto?
