Binomio de identidad

Question

Me gustaría conseguir una sugerencia para demostrar la siguiente identidad:

$$\tag{1}\sum_{\nu}(-1)^{\nu}\displaystyle \binom{a}{\nu}\binom{n-\nu}{r}=\binom{n-a}{n-r} .$$

La declaración original se lee "Por la especialización derivarse de (12.9) la identidad..." donde (12.9) se refiere a:

$$\tag{2}\sum_{\nu}\binom{a}{\nu}\binom{b}{n-\nu}=\binom{a+b}{n}. $$

El problema sugiere el uso de las $$\tag{3} \binom{-a}{k} = (-1)^k\binom{a+k-1}{k}.$$

Yo asumía que la "especialización" significa "empezar con (2) y derivan $(1)$", así que he cambiado el signo de $a$ en (2), luego usé $(3)$, pero no funcionó o no sé cómo proceder a partir de allí, así que agradecería cualquier ayuda.

Gracias!

Answer 1

Mientras tanto $n-\nu$ $r$ son enteros no negativos, tenemos $$ \begin{align} (-1)^\nu\binom{n-\nu}{r} &=(-1)^\nu\binom{n-\nu}{n-\nu-r}\\ &=(-1)^{n-r}\binom{-r-1}{n-\nu-r}\tag{1} \end{align} $$ El uso de $(1)$, obtenemos $$ \begin{align} \sum_{\nu}(-1)^{\nu}\binom{a}{\nu}\binom{n-\nu}{r} &=(-1)^{n-r}\sum_{\nu}\binom{a}{\nu}\binom{-r-1}{n-\nu-r}\\ &=(-1)^{n-r}\binom{a-r-1}{n-r}\\ &=\binom{n-a}{n-r}\tag{2} \end{align} $$

Answer 2

Bien, vamos a ver qué hacer Mathematica que decir acerca de esto :

In:= Sum[(-1)^p*Binomial[a, p]*Binomial[n - p, r], {p, 0, a}]
Out= Binomial[-a + n, -a + r]

Parece que su afirmación no es verdadera... (EDITAR pero, por supuesto, es cierto !)

Vamos a ir a por una prueba. Deje $f_{n,a,p,r}$ denotar la expresión $(-1)^p \binom{a}{p} \binom{n-p}{r}$, e $S_u$, el cambio w.r.t. la variable $u$. Por ejemplo, $(S_a f)_{n, a, p, r} = f_{n, a+1, p, r}$.

Deje $g$ denotar la suma de $\sum_{p=0}^a f_{n,a,p,r}$, e $g'$ la expresión de $\binom{n-a}{r-a}$. Queremos a prueba de $g=g'$.

Se puede comprobar que $$ \left((1+r)S_r+p+r-n\right)f + (S_p - 1)\left(\frac{-p - n p + p^2}{1 + r}f\right) = 0$$ Cuando usted suma, se obtiene (note que la suma telescópica) $$ \left((1+r)S_r+p+r-n\right)g + \underbrace{\left[\frac{-p - n p + p^2}{1 + r}f\right]_{p=0}^{a+1}}_{=0} = 0$$

This gives you a recurrence for $g$, and it is easy to check that $g'$ satisfies the same.

You have similar formulas for the variables $n$ ans $r$. And you check that $g$ satisfies the defining recurrence equations of $g'$. And so $g=g'$.

Estas fórmulas pueden ser encontrados con el método de creative telescópico, que se implementa en Mathematica por el paquete HolonomicFunctions de Christoph Koutschan : usted puede probar esta igualdad en un algorítmica manera ! fuerte de texto