Estaba leyendo Dieudonne "En la historia de las conjeturas de Weil" y encontré dos cosas que me sorprendió. Dieudonne hace algunas afirmaciones acerca de la obra de Artin y Schmidt, que son sin duda correcto, pero él no da referencias, y el pensamiento de arar a través de Artin obras completas parece un poco complicado para mí, así que pensé en preguntarle primero aquí.
De fondo.
Si $V$ es un buen (afín o proyectiva) de la curva sobre un campo finito de $k$ de tamaño $q$, entonces $k$ (hasta el isomorfismo) una extensión única de $k_n$ de grado $n$ más de $k$ (so $k_n$ tiene $p^n$) y se puede definir $N_n$ a ser el tamaño de $V(k_n)$. Completamente concretamente, quizás se pueda imaginar el caso de que $V$ es definido por una ecuación afín o proyectiva 2-espacio, por ejemplo, $y^2=x^3+1$ (tenga en cuenta que esta ecuación le dará una curva suave en afín 2-espacio para $p$, la característica de $k$, lo suficientemente grande), y simplemente contar el número de soluciones de esta ecuación $x,y\in k_n\ $obtener $N_n$. Deje de $F_V(u)=\sum_{n\geq1}N_nu^n$ denotar el poder formal de la serie asociadas a esta función de conteo.
Ahora resulta que desde el "formalismo de funciones zeta" que esta no es la manera más ideal para empaquetar la información de los $N_n$, lo que uno realmente quiere hacer un producto más cerrado de los puntos de su variedad. Si $C_d$ es el número de puntos cercanos de $V$ de grado $d$, es decir, el número de puntos cercanos $v$ de (el topológica del espacio subyacente en el esquema) $V$ tales que $k(v)$ es isomorfo a $k_d$, entonces uno realmente quiere definir $$Z_V(u)=\prod_{d\geq1}(1-u^d)^{-C_d}.$$ Si uno de los conjuntos de $u=q^{s}$, entonces este es un análogo de la de Riemann zeta función, que es un producto cerrado puntos de $Spec(\mathbf{Z})$ de un análogo de la cosa.
Ahora el (fácil de comprobar) la relación entre los $C$s y $N$s $N_n=\sum_{d|n}dC_d$, y esto se traduce en una relación de entre $F_V$ y $Z_V$ de la forma $$uZ_V'(u)/Z_V(u)=F_V(u).$$
Esta relación también se puede calcular a $Z$ dada por $F$: uno divide $F$ en $u$, se integra formalmente y, a continuación, exponentiates formalmente; esto funciona debido a que $f'/f=(\log(f))'$.
La razón por la que estoy diciendo todo esto es sólo para subrayar que esta parte de la teoría es completamente primaria.
Las conjeturas de Weil en esta configuración.
Las conjeturas de Weil implica que por $V$ as arriba, la potencia de la serie $Z_V(u)$ es en realidad una función racional de $u$, y hacer varias declaraciones concretas sobre su forma explícita (y, en particular, la ubicación de los ceros y los polos). Tenga en cuenta que ellos son por lo general indicado para suavizar las variedades, pero en el afín curva caso de que uno puede tomar el buen proyectiva modelo para $V$ y, a continuación, tirar de la un número finito de puntos extra mostrando a ver que $Z_V(u)$ es una función racional en este caso también.
Cómo probar los casos especiales en 1923?
OK, así que aquí está la pregunta. Es de 1923, lo que estamos considerando es completamente explícito afín o proyectiva curvas de más explícito finito campos, y queremos comprobar que este poder de la serie $Z_V(u)$ es una función racional. Dieudonne estados que Artin se las arregla para hacer esto para las curvas de la forma $y^2=P(x)$ para "muchos de los polinomios $P$ de bajo grado". ¿Cómo podemos hacer esto? Por $P$ de grado 1 o 2, la curva es birational a proyectivas 1-el espacio y la historia es fácil. Por $V$ es igual a proyectivas 1-espacio, tenemos $$F_V(u)=(1+p)u+(1+q^2)u^2+(1+q^3)u^3+\ldots=u/(1-u)+qu/(1-qu)$$ a partir de la cual se deduce fácilmente a partir de la discusión anterior que $$Z_V(u)=1/[(1-u)(1-qu)].$$ Para los polinomios de $P$ de grado 3 o 4, la curva tiene género 1 y de nuevo puedo concebir cómo Artin podría haber abordado el problema. La curva será birational a una curva elíptica, y se eleva a una característica cero de la curva con el complejo de la multiplicación. Las huellas de Frobenius será controlado por el correspondiente Hecke personaje, un hecho que seguramente no se han escapado de Artin, y puedo creer que él era lo suficientemente inteligente como para poner todo junto.
Para polinomios de grado 5 o más, dado que es de 1923, el problema parece formidable.
Q1) Cuando Dieudonne dice que Artin verificado (una parte de) las conjeturas de Weil para "muchos de los polinomios de bajo grado", qué significa "de grado en la mayoría de 4", o lo hicieron de Artin mueven realmente en género 2?
Cuánto más podemos entrar en 1931?
Ahora esto realmente me sorprendió. Dieudonne afirma que en 1931 F. K. Schmidt demostrado la racionalidad de $Z_V(u)$, además de la funcional de la ecuación, además del hecho de que $Z_V(u)=P(u)/(1-u)(1-qu)$, $V$ arbitraria suave curva proyectiva, y que demostró $P(u)$ era un polinomio de grado $2g$, con $g$ el género de $V$. Esto es ya una gran parte de las conjeturas de Weil. Nos falta la declaración de que $P(u)$ tiene todos sus pudriciones de tamaño $p^{-1/2}$ (la "hipótesis de Riemann"), pero esto es comprensible: se necesita una buena cantidad de maquinaria para probar esto. Lo que me sorprendió (en mi naivity) era que yo había asumido que todo esto era debido a Weil en la década de 1940 y obviamente estoy equivocado: "todos Weil hizo" fue a probar RH. Así que tengo una muy básica de la historia de la pregunta:
Q2) sin Embargo, Schmidt hacer esto?
EDIT: breve resumen de las respuestas a continuación (y lo que he aprendido de perseguir las referencias):
A1) Artin no hacer nada de lo que he sugerido. Él podría calcular explícitamente la función zeta de una arbitraria dada hyperelliptic curva sobre un campo finito por una elegante aplicación de la reciprocidad cuadrática. Ver, por ejemplo, la primera de la Roquette tres papeles a continuación. El método en la teoría de las obras de todos los géneros, aunque los cálculos más rápido llegar a cansar.
A2) De Riemann-Roch. Expresar el producto de la definición de a $Z$ como una suma infinita y, a continuación, usar la cabeza.
