La línea geodésica en la mitad de Poincaré plano

Question

Yo estaba cálculo de la línea geodésica líneas de Poincaré de la mitad de avión, pero me di cuenta de que de alguna manera se perdió un parámetro. Sería realmente útil si alguien me podría ayudar a encontrar dónde está mi error.

Mi cálculo es la siguiente:

Deje $ds^2=\frac{a^2}{y^2}(dx^2+dy^2)$, entonces podemos calcular la nonvanishing símbolos de Christoffel que se $\Gamma^x_{xy}=\Gamma^x_{yx}=-\frac{1}{y}, \Gamma^y_{xx}=\frac{1}{y}, \Gamma^y_{yy}=-\frac{1}{y}$. A partir de estas y geodésico de ecuaciones, tenemos $$\ddot{x}-y^{-1}\dot{x}\dot{y}=0$$ $$\ddot{y}+y^{-1}\dot{x}^2=0$$ $$\ddot{y}-y^{-1}\dot{y}^2=0$$

A partir de la última ecuación, es sencillo, que $y=Ce^{\omega\lambda}$ donde $C$ $\lambda$ son parte integral de las constantes. A continuación, sustituir el derivado de la $y$ en la primera ecuación, tenemos, $$\ddot{x}-\omega\dot{x}=0$$ Therefore we have $x=De^{\omega\lambda}+x_0$ where $D, x_0$ are integral constants. However, by the second equation, we have, assuming $C$ is nonzero, $$C^2+D^2=0$$ And this leads to a weird result which is $$(x-x_0)^2+y^2=0$$ Pero el resultado real debería ser $(x-x_0)^2+y^2=l^2$ donde $l$ es otra constante.

Answer 1

Usted dice $C,\lambda$ son constantes de integración, sino que da $\ddot{x}-\lambda\dot{x} = 0$ lugar. Desde su seguimiento sería inconsistente, voy a suponer que usted significó $C,\omega$ son constantes de integración.

Usted no debe tener tres componentes de la ecuación geodésica, pero en lugar de dos: $$\ddot{y} + \Gamma^y_{xx}\dot{x}\dot{x} + \Gamma^y_{xy}\dot{x}\dot{y} + \Gamma^y_{yx}\dot{y}\dot{x} +\Gamma^y_{yy}\dot{y}\dot{y} = 0\text{.}$$ También falta un factor de $2$ $\ddot{x}$ ecuación.

Voy a dar una sugerencia para decir que desde el $x$-coordinar es cíclica, $\dot{x} = Ey^2$ para algunas constantes $E$. Si usted no está familiarizado con el Asesinato de campos vectoriales, usted puede ver esto desde el de Euler-Lagrange las ecuaciones en $L = \frac{1}{2}g(u,u)$ donde $u^\mu = (\dot{x},\dot{y})$, que es también una buena manera de encontrar geodesics.

Answer 2

Aunque lo siguiente no contesta directamente a tu pregunta (que por supuesto es una solicitud para una revisión de la "GR" método de cálculo de geodesics y que Stan Liou hizo perfectamente ), no me puedo resistir a escribir el siguiente pequeño y elegante caracterización de geodesics en el plano hiperbólico. Yo creo que los pensamientos a lo largo de las siguientes líneas, aunque muy simple y especializada, ayudar a crecer una intuición para la geometría hiperbólica y para algunas de las conductas básicas de negativamente curva el espacio-tiempo. Naturalmente no se sustituya el "GR" método, ya que es mucho más especializados.

Voy a esbozar la prueba, ya que no es tan compacto como me recordó cuando está escrito en su totalidad, pero sin embargo es una secuencia de pequeñas joyas: fácilmente comprendido, sencillos y claros puntos de referencia que uno puede tener en la cabeza al pensar en este tipo de cosas. Si me necesita para llenar los detalles, que me naturalmente agregar a mi respuesta.

El plano hiperbólico:

$$\mathbb{H}^2 = \{z\in\mathbb{C}: {\rm Im}(z)>0\}\qquad(1)$$

está equipado con la hiperbólica métrica definida por:

$$ds^2 = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2}\qquad(2)$$

que es el mismo que el de su métrica, aparte de una escala constante. Uno wontedly estudios $\mathbb{H}^2$ junto con el disco de Poincaré:

$$\mathbb{D}^2 = \{z\in\mathbb{C}: |z|<1\}\qquad(3)$$

que es el isométrico de la imagen de $\mathbb{H}^2$ bajo la billinear transformación:

$$T:\mathbb{H}^2\to \mathbb{D}^2;\quad T(z) = \frac{1+i\,z}{z+i}\qquad(4)$$

y usted puede fácilmente mostrar que la métrica en $\mathbb{D}^2$ está definido por:

$$ds^2 = \frac{4\,|d\omega|^2}{(1-|\omega|^2)^2}\qquad(5)$$

donde $|d\omega|$ es la cotidianidad de la métrica Euclidiana en $\mathbb{D}^2$.

Testimonio de que las siguientes son claramente isometrías de $\mathbb{H}^2$:

1. "De lado las traducciones", es decir, $$T_\lambda(z) = \lambda + z; \,\lambda \in \mathbb{R}\qquad(6)$$
2. "Dilataciones", es decir, $$D_\rho(z) = \rho\,z;\,\rho\in \mathbb{R},\,\rho>0\qquad(7)$$

y también la transformación que corresponde a una rotación a través de cualquier ángulo de $\theta$ sobre el origen en el disco $\mathbb{D}^2$, es decir, $\omega\mapsto e^{i\theta} \omega$, que corresponde a la transformación bilineal:

$$R_\theta(z) = \frac{z \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{-z \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}\qquad(8)$$

porque, a partir de (5), es claramente una isometría en $\mathbb{D}^2$ $\mathbb{D}^2$ $\mathbb{H}^2$ son isometricly equivalente.

Así que ahora llamamos a la siguiente:

Teorema (Poincaré): El grupo $PSL(2, \mathbb{R})$ de billinear transformaciones de la forma:

$$f:\mathbb{H}^2\to\mathbb{H}^2;\;f(z) = \frac{\alpha\,z+\beta}{\gamma\,z+\delta};\;\alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\delta \in \mathbb{R};\;\alpha\delta-\beta\gamma=1\qquad(9)$$

es precisamente el grupo de isometrías de $\mathbb{H}^2$; es decir, cada transformación de este tipo es una isometría, y todas las isometrías son de este tipo.$\square$

De hecho, a pesar de que no es pertinente aquí, $PSL(2, \mathbb{R})$ es también precisamente el grupo de conformación de las transformaciones de $\mathbb{H}^2$, es decir, todos los mapas de este tipo de conformación, y de cualquier nivel mundial de conformación bijection $\mathbb{H}^2\to \mathbb{H}^2$ es de este tipo.

Para demostrar la primera parte, una muestra de que todos esos billinear mapas se puede descomponer en los siguientes composición de distancia conocida-preservar por encima de los mapas:

$$f = T_{\frac{\alpha}{\gamma}} \circ D_{\frac{\alpha\delta-\beta\gamma}{\gamma}} \circ R_\pi \circ D_\gamma\qquad(10)$$

Para probar a la inversa, una muestra que cualquier distancia preservar mapa está determinado por las imágenes de tres no-alineados los puntos de $A, B, C\in\mathbb{H}^2$ porque cualquier otro punto de $D\in \mathbb{H}^2$ está establecido por su distancia de los puntos de referencia $A, B, C$ y sus imágenes.

Ahora se considera segmentos de línea $PQ$ entre cualquier par de puntos de $P$ $Q$ sobre el eje imaginario en $\mathbb{H}^2$.

Claramente a partir de (2) $C^0$ path $\Gamma$ $P$ y $Q$, $ds^\prime \geq ds$ cuando proyectamos la ruta de acceso en el eje imaginario, como se muestra. Por lo tanto, la única geodésica que une dos puntos sobre el eje imaginario es simplemente un segmento de la imagine eje entre esos dos puntos.

Por tanto, no es difícil mostrar que cualquiera de los dos puntos $A,B\in\mathbb{H}^2$ son las imágenes de dos puntos de $P$ $Q$ sobre el eje imaginario en virtud de una asignación en el grupo $PSL(2,\mathbb{R})$ de isometrías de $\mathbb{H}^2$ e este miembro del grupo es único, definido por $A$$B$.

Por lo tanto, del teorema de Poincaré, la imagen de la línea de segmento de $PQ$ a lo largo del eje imaginario definido por esta única mapa es la única geodésica entre el$A$$B$. Desde bilineal transformaciones mapa de círculos los círculos (es decir, "círculo", como se define en el wonted espacio Euclidiano), la geodésica entre el $A$ $B$ es el arco de un Euclidiana círculo. De hecho, es el arco entre los dos puntos del único Euclidiana círculo que pasa a través de $A$ $B$ con su centro sobre el eje real.

Así que usted puede encontrar el geodesics que usted necesita!