Definición De Espacio Topológico

Question

Considerar la definición de un espacio topológico:

Topológica del Espacio: Una topología en un conjunto $X$ es una colección de $\mathcal{T}$ de los subconjuntos de a $X$ tal que

1. $\emptyset,X \in \mathcal{T}$.

2. La unión de elementos de cualquier subcolección de $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$.

3. La intersección de los elementos de cualquier finito subcolección de $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$.

Luego de un espacio topológico es el par ordenado $(X,\mathcal{T})$ consiste en un conjunto $X$ y una topología $\mathcal{T}$$X$.

Cuando puedo introducir esta idea a los estudiantes, es lo suficientemente simple como para motivar por qué esta definición fue seleccionado mediante elementales de Cálculo de los conceptos y el hecho de que la Topología originalmente se suponía que generalizar estas ideas. Se hace de esta definición más accesible para ellos. Por supuesto, se puede también poner la definición en términos de conjuntos cerrados.

Sin embargo, me han preguntado por qué esta definición. Significado, no se por qué esta definición en comparación con el conjunto cerrado de definición, sino más bien ¿por qué esta definición funciona mejor que otras posibles definiciones. A continuación, el alumno se pregunta qué otras definiciones fueron juzgados y ¿por qué fracasaron por lo que la definición anterior fue resuelto.

He pensado acerca de esto mismo, pero nunca he encontrado una referencia que habla de cómo esta definición fue el matemático desea en comparación con otras posibles definiciones. Me encantaría ser capaz de tener una buena respuesta para los estudiantes, para esto y para ser capaz de incluir esto en ¿por qué la definición anterior es "bueno". ¿Alguien sabe de una explicación histórica en cualquier texto o documento que describe, brevemente, otras definiciones que originalmente se trató? Yo no he tenido éxito en la búsqueda de tales fuentes. Incluso pensamientos alternativos posibles definiciones de una topología que resultan ser 'inferior' a la estándar con una breve explicación de por qué sería aceptable en lugar de una fuente.

Answer 1

Varias personas estaban involucradas en el desarrollo temprano del punto general de conjunto de la topología, pero una gran parte de ello es debido a Felix Hausdorff, y se puede encontrar en su Grundzüge der Mengenlehre de 1914. (Tenga en cuenta que la edición en inglés es la traducción de una edición posterior que era mucho volver a escribir.)

Hausdorff señaló que hay tres conceptos básicos por medio de la cual uno puede basar una teoría general de espacios topológicos: la noción de la distancia, los barrios y los límites. Comenzando con una noción de distancia, se puede derivar que los otros dos (como Fréchet había hecho en 1906), y a partir de una noción de barrio, uno puede definir límites. Hausdorff eligió para definir espacios topológicos en términos de barrio axiomas, junto con lo que ahora llamamos el Hausdorff separación axioma.

En los años siguientes Hausdorff del libro, las diferentes variaciones en la definición de un espacio topológico se exploraron. Kuratowski dio una definición en términos de cierre de los axiomas. Tietze dio una definición en términos de bloques abiertos. Varios de los libros de texto fueron publicados en la década de 1930 con un poco diferentes opciones de separación de los axiomas, etc. Finalmente, en 1940, Bourbaki (o André Weil y Claude Chevalley) eligió nuestra moderna definición, que también fue utilizado en el influyente libro de John Kelly (1955).

Answer 2

Todo lo que escribo es mi opinión, pero no cualquier cosa, en algunas fuentes se describe.

Recordamos las propiedades de abrir el conjunto de los números reales conjunto de $\mathbb{R}$:

1. $\Phi$, $\mathbb{R}$ están abiertas conjuntos.

2. La intersección de los elementos de cualquier finito abierto conjuntos es el conjunto abierto.

3. La unión de elementos de cualquier conjuntos es el conjunto abierto.

La definición de la topología del espacio se desarrolla a partir de estas propiedades. Todas las definiciones fundamentales (barrio, de convergencia, de continuar, cubierta...) en $\mathbb{R}$ puede ser descrito por un conjunto abierto, pero no es necesario la definición de la "distancia". Para hablar acerca de las definiciones y propiedades de cualquier espacio de $X$, podemos hacer una definición abstracta del conjunto abierto de $\mathbb{R}$ y obtener la definición de la topología del espacio. De hecho, este es un desarrollo de la matemática. Las definiciones de topología no es un producto de la imaginación. Y no he oído algunas otras definiciones.