Si $\lim_{n\to\infty} (a_{n+1}-a_n)=0$ y $|a_{n+2}-a_n|<\frac{1}{2^n}$ entonces $(a_n)$ converge

Question

Sea $(a_n)$ sea una secuencia tal que $\lim_{n\to\infty} (a_{n+1}-a_n)=0$ y $|a_{n+2}-a_n|<\frac{1}{2^n}$ para todos $n$ . Tengo que decidir si $(a_n)$ converge.

Mi intento: Creo que converge. Sea $b_n=a_{2n}, c_n=a_{2n-1}$ . Entonces:

$$|b_{n+1}-b_n|=|a_{2n+2}-a_{2n}|<\frac{1}{2^{2n}}$$

$$|c_{n+1}-c_n|=|a_{2n+1}-a_{2n-1}|<\frac{1}{2^{2n-1}}$$

Así $(b_n)$ y $(c_n)$ son Cauchy (demostrado en otra pregunta ) y convergen. Dado que $(a_{2n}-a_{2n-1})$ es una subsecuencia de $(a_{n+1}-a_n)$ también converge a $0$ . Así $$\lim_{n\to\infty} (b_n-c_n)=\lim_{n\to\infty} (a_{2n}-a_{2n-1})=0$$

o

$$\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}c_n$$

Porque las subsecuencias $(b_n)$ y $(c_n)$ cubrir la secuencia $(a_n)$ y porque convergen al mismo punto, $(a_n)$ converge.

¿Es correcto? ¿Qué opina usted?

Answer 1

Aquí tienes una condición suficiente (de la discusión en los comentarios) para que tu secuencia sea convergente: Supongamos que $|a_n-a_{n+1}|\leq c_n$ donde $\{c_n\}$ es tal que $$ \sum_{n=1}^{\infty}c_n<\infty. $$ Definimos la sucesión de números positivos $C_n=\sum_{k=1}^nc_n$ que va en aumento. Como converge, también es Cauchy. Ahora probamos que $a_n$ es Cauchy: sea $m> n$ $$ |a_n-a_m|=|a_n-a_{n+1}+a_{n+1}-\cdots -a_m|\leq \sum_{k=n}^{m-1} |a_k-a_{k+1}|\leq \sum_{k=n}^{m-1} c_k = C_m-C_{n-1} \to0 $$ como $m,n\to \infty$ .

Perdón por el off-topic pero la discusión en los comentarios fue bastante rica en mi opinión, vale la pena completarla.

EDITAR : En realidad sólo necesitamos la sumabilidad de la secuencia $\{|a_n-a_{n+1}|\}$ . Tales secuencias $\{a_n\}$ se denominan de variación acotada. Así, suponiendo $$ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n-a_{n+1}|<\infty, $$ entonces basta con tomar $c_n=|a_n-a_{n+1}|$ en el argumento anterior.