¿Qué números transcendental son producidos por $\sin{\alpha}$ cuando $\alpha$ es algebraica/construible/racional (en radianes)?

Question

Yo sé que por Lindemann–Weierstrass teorema(LW), el seno y el coseno de cero números algebraicos (en radianes) produce resultados que son trascendentales.

Mi pregunta es ¿cuáles son los trascendentales producido? Hay conocidos $\alpha \in \mathbb{Q}$ donde$sin(\alpha) = r\pi$,$r \in \mathbb{Q}$? ¿Qué acerca de la $r \in \mathbb{E}$(edificable)? ¿Qué acerca de la $r \in \mathbb{\overline{Q}}$(algebraica)? ¿Qué acerca de la $\sin(\alpha) = re$? No estoy tratando de múltiples preguntas, sólo quiero saber si algunos o todos los valores con algebraicas (o, sobre todo, racional o construibles) entrada de funciones trigonométricas producir un determinado tipo o tipos de trascendental número.

Me temo que la teoría no es mi fuerte demanda, como mi fondo es el de ingeniería. Estoy investigando las ecuaciones diferenciales que involucran springs y explorar qué tipos de números que se espera de ecuaciones que involucran el movimiento armónico simple. A veces mi frecuencia angular $\omega$ es racional o construibles. Me parece la prueba de la LW en la Wikipedia un poco denso y difícil de seguir, así que por favor trate de mantener sus respuestas accesible a un público más amplio si se puede.

Answer 1

Considerar following:$$\arccos(x)=\frac{\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})}{i}+\frac{\pi}2\pm2\pi n, n=0,1,2,3,\cdots$$Assume C is algebraic. $\pi C=\frac{\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})} {i} $$$\arccos (x) = \pi [C + \frac12\pm2n] $$$$x=\cos(\pi[C+\frac12\pm2n])=\cos(\pi)\cos(C+\frac12\pm2n)-\sin(\pi)\sin(C+\frac12\pm2n)=-\cos(C+\frac12\pm2n)$$$$x=-\cos (4C + \frac12\pm2n) $$I have assumed C to be algebraic. But for C to be algebraic, the logarithm at the beginning must have had a non-algebraic $x$. No saben hacer nada más allá de esto.