Sobre el comportamiento asintótico de $\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{x^{a_n}}{a_n!}$

Question

Dejemos que $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia creciente de números naturales, y $$ f_A(x)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{x^{a_n}}{a_n!}. $$ Hay algunos casos en los que el límite $$ l_A=\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}\,\log(f_A(x)) $$ no existe. Sin embargo, si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una progresión aritmética, tenemos $l_A=1$ (se deduce de una aplicación directa de la transformada discreta de Fourier). Consideremos ahora el caso $a_n=n^2.$

• ¿Es cierto que existe una constante positiva $c$ para lo cual $$\forall x>0,\quad e^{-x}f_A(x)=\sum_{k\in\mathbb{N}}x^k\left(\sum_{0\leq j\leq\sqrt{k}}\frac{(-1)^{k-j^2}}{(j^2)!\,(k-j^2)!}\right)\geq c\;?$$

• ¿Es cierto que $l_A=1$ ?

Answer 1

Esto es una respuesta a la primera pregunta solamente, por ahora.

No existe tal constante $c>0$ . Supongamos que sí, es decir, que $e^{-x} f_{A}(x) \ge c > 0$ para todos $x>0$ . Definir $f_{A,0} = f_A$ e inductivamente $$ f_{A,{k}}(x) = c+ \int_0^x f_{A,k-1}(t) \, dt = c \sum_{j=0}^{k-1} \frac{x^j}{j!} + \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{x^{a_n+k}}{(a_n+k)!} $$ para $k \ge 1$ . (La representación en serie de potencias se comprueba fácilmente por inducción). $f_{A,0}(x) \ge c e^x$ y luego el paso de inducción $$ f_{A,k}(x) \ge c + \int_0^x ce^t \, dt = c+ ce^x-c = ce^x $$ muestra que $f_{A,k}(x) \ge c e^x$ para todos $k \ge 0$ y $x>0$ .

Ahora bien, si $(a_n)$ es cualquier secuencia con $\lim\limits_{n\to\infty} (a_{n+1}-a_n) = \infty$ como su ejemplo $a_n = n^2$ la representación en serie de la potencia para $f_{A,k}$ muestra que $$ F_{A,m}(x) = \sum_{k=0}^{m-1} f_{A,k}(x) \le P_{A,m}(x) + e^x $$ donde $P_{A,m}$ es un polinomio. Entonces $$ P_{A,m}(x) + e^x \ge \sum_{k=0}^{m-1} ce^x = mc e^x $$ para todos $x>0$ . Esto implica $mc \le 1$ Así que $c \le \frac1m$ . Sin embargo, como $m$ era arbitraria, esto contradice $c>0$ .

Answer 2

Es cierto que $l_A=1$ . La lógica es similar a mi respuesta a $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)^{1/x}$ donde $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cfrac{x^{a_k}}{a_k!}$ . En primer lugar, los términos después de $n=3x$ no importa:

$$\sum_{n=3x}^\infty x^n/n! <\sum_{n=3x}^\infty x^n /(3x/e)^n=C$$ mediante la aproximación de Stirling.

Pero para $n<3x$ va a haber un cuadrado perfecto $s$ entre $n$ y $n+2\sqrt{3x}$ (esto es sólo $(k+1)^2-k^2=2k+1$ y $k< \sqrt{3x}$ ). Entonces los valores $x^s/s!$ y $x^n/n!$ difieren como máximo en un factor $(3x)^{2\sqrt{3x}}$ ,

Así que si multiplico cada término $x^s/s!$ por esa proporción y tomar al menos $2\sqrt{3x}$ copias que tendré para cada $x^n/n!$ (con $n<3x$ ) al menos un término igual de grande. Esto significa que $$f_A(x) (3x)^{2\sqrt{3x}}{2\sqrt{3x}} +C > e^x$$ y así $l_A=1$ .

(Creo que la relación de términos puede hacerse realmente $3^{2\sqrt{3x}}$ pero también funciona tal cual).

Answer 3

Hay un error en el argumento. Consulte los comentarios.

---

Es un buen ejercicio para mostrar $l_A = 1$ para cada polinomio $n^k$ . Permítanme esbozar la prueba para $k = 2$ . Obsérvese que para $x \geq 0$ : $$\sum_{n=0} \frac{x^{n^2}}{(n^2)!} \leq \sum_{n=0} \frac{x^n}{n!} = e^x$$ simplemente, porque el lado izquierdo es una subsecuencia del lado derecho. Lo siguiente que hay que hacer es acotar nuestra secuencia por la izquierda. Tenemos: $$\sum_{n=0} (2n + 1)\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+2)^2!} \geq \sum_{n=0}\frac{x^n}{(n+2)!}$$ porque en cada grupo del tamaño $(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$ el último nominador es el mayor y el primer denominador es el menor. Para un tamaño suficientemente grande $x$ (por ejemplo $x \geq 2$ ): $$\sum_{n=0} \frac{x^{(n+2)^2}}{(n+2)^2!} \geq \sum_{n=0} (2n+1)\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+2)^2!}$$ así $$\sum_{n=0} \frac{x^{n^2}}{(n^2)!} - x - 1= \sum_{n=2} \frac{x^{n^2}}{(n^2)!} \geq \sum_{n=2} \frac{x^{(n-2)}}{n!} = \frac{1}{x^2}\sum_{n=2} \frac{x^n}{n!} = \frac{1}{x^2}(e^x - x - 1)$$ Por lo tanto, para un tamaño suficientemente grande $x$ : $$\frac{e^x}{x^2} \leq \frac{e^x}{x^2} + x + 1 - \frac{x+1}{x^2} \leq \sum \frac{x^{n^2}}{(n^2)!} \leq e^x$$