Soluciones del número entero $x^2+y^2=5z^2$

Question

Estoy buscando una fórmula generar todas las soluciones $x$, $y$, $z$ $x^2 + y^2 = 5z^2$.

¿Algún consejo?

Answer 1

Ok, así que estoy asumiendo soluciones racionales. Este método puede producir una parametrización de todos los enteros soluciones sin demasiado trabajo.

Tenga en cuenta que $(1,2)$ mienten en el círculo $x^2 + y^2 = 5$. Deje $x_0 = 1, y_0 = 2$. Ahora supongamos $x^2 + y^2 = 5$. Deje $m = x - x_0, n = y - y_0$, luego tenemos a $$m^2 + 2mx_0 + x_0^2 + n^2 + 2ny_0 + y_0^2 = 5$$ Y por lo tanto $m^2 + 2mx_0 + n^2 + 2ny_0 = 0$. Deje $\lambda = \frac{m}{n}$. Entonces tenemos: $$n^2\lambda^2 + 2n\lambda x_0 + n^2 + 2ny_0 = 0$$ $$n\lambda^2 + 2\lambda x_0 + n + 2y_0 = 0$$ $$n = \frac{-2y_0 - 2\lambda x_0}{1 + \lambda^2}$$ Conectar $x_0 = 1, y_0 = 2$: $$n = \frac{-4 - 2 \lambda}{1 + \lambda^2}$$ Por lo tanto se deduce $$(x,y) = \left (1 + \frac{-4\lambda - 2\lambda^2}{1 + \lambda^2}, 2 + \frac{-4 - 2 \lambda}{1 + \lambda^2} \right )$$ donde $\lambda$ es un número arbitrario en $\mathbb{Q}$. Ahora para $x^2 + y^2 = 5z^2$, simplemente tenemos: $$(x,y,z) = \left (z + \frac{-4z\lambda - 2z\lambda^2}{1 + \lambda^2}, 2z + \frac{-4z - 2z \lambda}{1 + \lambda^2},z \right )$$ Si desea soluciones en $\mathbb{Z}$, sólo se necesita un poco más de trabajo al finalizar.

EDIT: por Lo que sea me hizo una enorme fracaso en la lectura o el autor cambió el título. Así que aquí está cómo terminar.

Un poco más prolija forma de trabajar con es $$(x,y,z) = \left (1 + \lambda^2 -4\lambda - 2\lambda^2, 2 + 2\lambda^2 -4 - 2\lambda, 1 + \lambda^2 \right )$$ Dejando $\lambda = \frac{m}{n}$, vemos que: $$(x,y,z) = \left (m^2 - n^2 -4mn, 2n^2 -2m^2 - 2mn, m^2 + n^2 \right )$$

Answer 2

Es de suponer que usted está buscando soluciones de $\mathbb Z$. Cuando se tiene una solución, puede dividir la ecuación por $z^2$ encontrar los números racionales $\lambda$ $\mu$ tal que $\lambda^2+\mu^2=5$. Hasta ahora tan bueno. Ahora usted puede pensar de $(\lambda,\mu)$ como el número complejo a $\lambda+\mu i\in{\mathbb{Q}}(i)$, el campo de Gauss números. Y, cuando llamamos a $z=\lambda+\mu i$, la condición es que $\mathbf{N}(z)=5$ donde $\mathbf N$ es la norma mapa, $z\mapsto z\bar z$, lo que ves es multiplicativo. Ahora, en caso de $\mathbf{N}(z)=5$$\mathbf{N}(u)=1$, se puede ver que $zu$ es otro punto en el círculo de radio $\sqrt5$, justo el tipo de número que usted está buscando.

Pero sabemos que todos los Gaussiano números de norma $1$, que corresponden a las ternas Pitagóricas, como $5/13 + 12i/13$ corresponde a la terna Pitagórica $(5,12,13)$, y hay varias maneras de describir estas tripletas, en otras palabras, la adecuada Gaussiano números de norma $1$. He aquí una manera de describir todos los P-triples:

El Gaussiano números de norma $1$ son infinitamente generado abelian grupo. La torsión de los subgrupos es $\{\pm1,\pm i\}$, y, modulo estos, el grupo es libre-abelian, generadores indexados por los números primos congruentes a $1$ modulo $4$. Para cada una de las prime $p$, escribir $p=m^2+n^2$, y el correspondiente generador de la mencionada libre-grupo abelian es $(m+ni)/(m-ni)$. El resultado de todo esto es que una vez que haya realizado su elección de estos generadores $\{g_p\}$, cada Gaussiana número de norma $1$ es únicamente de escritura como $\varepsilon\prod_p g_p^{e_p}$. Aquí el producto debe ser finito, que es de todos, pero un número finito de los exponentes $e_p$ debe ser cero, y la $\varepsilon$ $\pm1$ o $\pm i$.

Ejemplo: tomemos $g_5=(2+i)/(2-i)=(3+4i)/5$. Luego, utilizando el fijo de Gauss número$2+i$$z$, si se utiliza $u=g_5^2=(-7+24i)/25$, consigue $uz=(-38+41i)/25$. Esto produce la solución $x=-38$, $y=41$, $z=25$ a la ecuación original.

Answer 3

No podía, pero notar el patrón $x^2 + y^2 = 5 z^2 = z^2 + (2z)^2 $; debido a la

$(am+bn)^2 + (an-bm)^2 = (an+bm)^2 + (am-bn)^2 $, y si dejamos $x=am+bn , y=an-bm , z=am-bn$, necesitamos $an + bm = 2(am-bn)$, es decir, $ a(n - 2m) + b(m+2n) =0$ que es posible por

$a = (m+2n) k , b=(2m-n)k $ , where $a,b,m,n,k$ $∈$ $\Bbb Z$

Por lo tanto, las soluciones son:-$x = k( m^2 + 4mn - n^2 )$; $y = 2k(mn + n^2 - m^2 )$ ; $z = k( m^2 + n^2 )$ Estos son los mismos que lo que "posiciones" parece haber obtenido por esfuerzo comparativamente más.