Supongo que usted quiere escribir que $\chi_p|_{I_p}$ es trivial para casi todos los $p$.
Aviso que este no es el mismo que los personajes de $I_p$, desde el natural de morfismos $I_p^{\mathrm{ab}} \rightarrow D_p^{\mathrm{ab}}$ no es inyectiva (el Frobenius "giros" los elementos de la $I_p$).
Clase de teoría de campo nos da un isomorfismo entre el$\widehat{\mathbb{Q}_p^{\times}}$$D_p^{\mathrm{ab}}$, y la imagen de $I_p$ $D_p^{\mathrm{ab}}$ corresponde a $\mathbb{Z}_p^{\times}$, por lo que tomando las restricciones a $I_p$ de caracteres $\chi_p$ $D_p$ nos dan a nosotros mismos caracteres$\eta_p$$\mathbb{Z}_p^{\times}$.
Global de la clase de teoría de campo le da un isomorfismo entre el $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})^{\mathrm{ab}}$ $\mathbb{A}^{\times}/\mathbb{Q}^{\times} \mathbb{R}_{>0} \simeq \prod_p \mathbb{Z}_p^{\times}$ (este último isomorfismo es particular para el caso de que el número de campo es $\mathbb{Q}$, y es posible demostrar el resultado que usted desea sin recurrir a ella, pero es muy conveniente aquí).
También tenemos la obvia conmutativo el diagrama de la vinculación de lo local y lo global reciprocidad mapas, donde $D_p^{\mathrm{ab}} \rightarrow \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})^{\mathrm{ab}}$ es paralelo a $\widehat{\mathbb{Q}_p^{\times}} \rightarrow \mathbb{A}^{\times}/\mathbb{Q}^{\times} \mathbb{R}_{>0}$ (esta última flecha es la obtenida a partir de a $x_p \mapsto (\ldots, 1, x_p , 1 , \ldots)$), y convenientemente, la composición de la $\mathbb{Z}_p^{\times} \hookrightarrow \widehat{\mathbb{Q}_p^{\times}} \rightarrow \mathbb{A}^{\times}/\mathbb{Q}^{\times} \mathbb{R}_{>0} \simeq \prod_q \mathbb{Z}_q^{\times}$ es lo obvio.
Ahora nos definen $\eta$ $\prod_p \mathbb{Z}_p^{\times}$ $\eta ( (x_p)_p) = \prod_p \eta_p(x_p)$ (bien definido y continuo gracias a la hipótesis).
