Si $(A + I)^4 = 0$, $A$ es no-singular

Question

¿De ser $A$ n × n verdadero matriz tal que $(A + I)^4 = 0$, donde $I$ denota la matriz identidad, cómo probar que $A$ es no singular?

Answer 1

Que $\lambda$ sea un valor eigen de $A$. Entonces $(\lambda+1)^4=0$ $\lambda\neq 0$ decir. Por lo tanto, es nonsingular $A$

Answer 2

Si $A$ eran singulares, entonces sería un vector distinto de cero $x$ $Ax=0$ y $(A+I)x=0+x=x$. Pero entonces $(A+I)^4x=x$, nosotros estamos considerando que $(A+I)^4x=0$. (Se trata esencialmente de respuesta de Jlamprong sin usar el palabra "valor propio" o la letra $\lambda$.)

Answer 3

Como alternativa se puede tener en cuenta

$(A + I)^4 = 0 \tag{1}$

puede ser escrito como

$A^4 + 4A^3 + 6A^2 + 4A + I = 0, \tag{2}$

que después de algunos rendimientos maniobras algebraicos fácil

$A(A^3 + 4A^2 + 6A + 4I) = (A^3 + 4A^2 + 6A + 4I)A = -I, \tag{3}$

mostrando que

$A^{-1} = -(A^3 + 4A^2 + 6A + 4I). \tag{4}$

Desde $\exists A^{-1}$ $A$ es nonsingular. QED.

Espero que esto ayude. Cheerio,

y como siempre,

Fiat Lux!

Answer 4

Indicar $B = A + I$. Desde $B^4 = 0$ entonces tenemos

$$- I = B^4 - I = (B - I)(B^3 + B^2 + B + I) = A (B^3 + B^2 + B + I)$$

Así $-(B^3 + B^2 + B + I)$ es el inverso del $A$ (por lo tanto, $A$ no es singular).