¿Está mal decir $ \sqrt{x} \times \sqrt{x} =\pm x,\forall x \in \mathbb{R}$ ?

Question

¿Está mal decir $$ \sqrt{x} \times \sqrt{x} =\sqrt{x^2}= \pm x$$ Estoy seguro de que $\sqrt{(x)^2} = \pm(x)$

Pero $\sqrt{x } \times \sqrt{x} =- (x)$ no se sostiene en $\mathbb{R}$ pero si asumimos $\mathbb{C}$ aguanta bien?

Answer 1

Recordemos que una función devuelve un valor único. Por esta razón en los números reales tenemos que elegir valores positivos o negativos para cada número.

Sin embargo, es mucho más útil utilizar números positivos porque entonces podemos definir la composición de una manera significativa, por ejemplo: $$\sqrt{\sqrt{x}}=\sqrt[4]{x}$$

Si hubiéramos elegido $\sqrt x<0$ entonces $\sqrt{\sqrt x}$ no sería un número real, mientras que $\sqrt[4]x$ sigue siendo un número real (positivo o negativo).

Estas son razones suficientes para exigir siempre que al tomar una raíz de orden par elijamos siempre el valor positivo, y por tanto $\sqrt{x^2}=|x|$ .

Answer 2

Sí, está mal, porque

$\sqrt{x} \times \sqrt{x}=(\sqrt{x})^2\neq\sqrt{(x)^2}$ (para $x < 0$ porque aquí la lhs no está definida, pero la rhs sí)

Sabemos que $(\sqrt{x})^2\geq0$ en particular para $x\geq0$ tenemos $(\sqrt{x})^2=x$ de lo contrario, el término no está definido.

$\sqrt{(x)^2} = \pm(x)$ también es falso, porque un número positivo siempre tiene una raíz positiva. Probablemente te refieres a $\sqrt{(\pm(x))^2} = |x|$

Answer 3

La función raíz cuadrada toma valores no negativos en argumentos no negativos. Para $x\ge 0$ , $(\sqrt{x})^2=\sqrt{x^2}=|x|$ .

Answer 4

Está mal, porque $\sqrt{x}$ sólo se define para $x\geq0$ (si $x$ es un número real), por lo que no tiene sentido decir $\sqrt{x}·\sqrt{x}=\pm x$ .

Answer 5

Creo que el origen de tu pregunta es la confusión entre "la raíz cuadrada" y "una raíz cuadrada" de un número.

La convención habitual es que la función raíz cuadrada sobre reales positivos devuelve un número real positivo (y en realidad no es tan arbitrario, es muy conveniente en muchos sentidos). Y eso es lo que se suele querer decir cuando se menciona "la raíz cuadrada".

Sin embargo, si $a\geq 0$ entonces $\sqrt a$ y $-\sqrt a$ son ambas raíces cuadradas de $a$ en el sentido de que son soluciones de la ecuación $x^2-a=0$ . Por lo tanto, no es erróneo decir que el producto de dos raíces cuadradas (pero no LAS raíces cuadradas) de $a$ es $\pm a$ ( $-a$ si son raíces distintas, $a$ de lo contrario, esto también es cierto para cualquier $a$ ).

Por otra parte, es incorrecto decir que el cuadrado de una raíz cuadrada de $a$ es $\pm a$ ya que es $a$ sea cual sea la raíz cuadrada que se utilice (de hecho, es la propia definición de raíz cuadrada), que también se aplica al producto de dos números, ambos cuya raíz cuadrada es $a$ Así que $\sqrt a \cdot \sqrt a=a$ .