Teniendo en cuenta que $x = 4\sin \left( {2y + 6} \right)$ encontrar dy/dx en términos de x

Question

Mi intento:

$\eqalign{ & x = 4\sin \left( {2y + 6} \right) \cr & {{dx} \over {dy}} = \left( 2 \right)\left( 4 \right)\cos \left( {2y + 6} \right) \cr & {{dx} \over {dy}} = 8\cos \left( {2y + 6} \right) \cr & {{dy} \over {dx}} = {1 \over {8\cos \left( {2y + 6} \right)}} \cr} $

$\eqalign{ & x = 4\sin \left( {2y + 6} \right) \cr & {{dx} \over {dy}} = \left( 2 \right)\left( 4 \right)\cos \left( {2y + 6} \right) \cr & {{dx} \over {dy}} = 8\cos \left( {2y + 6} \right) \cr & {{dy} \over {dx}} = {1 \over {8\cos \left( {2y + 6} \right)}} \cr & {\cos ^2}\left( {2y + 6} \right) + {\sin ^2}\left( {2y + 6} \right) = 1 \cr & {\cos ^2}\left( {2y + 6} \right) + {\left( {{x \a más de 4}} \right)^2} = 1 \cr & {\cos ^2}\left( {2y + 6} \right) = 1 - {{{x^2}} \over {16}} \cr & \cos \left( {2y + 6} \right) = \sqrt {{{16 - {x^2}} \over {16}}} \cr & \cos \left( {2y + 6} \right) = {{\sqrt {16 - {x^2}} } \over 4} \cr & {{dy} \over {dx}} = {1 \over {2\sqrt {16 - {x^2}} }} = 1 \cr} $

Bueno yo tengo derecho, pero la respuesta oficial que me confunde, dice:

${{dy} \over {dx}} = {1 \over {8cos\left( {\arcsin \left( {{x \over 4}} \right)} \right)}} = \left( {\left( \pm \right){1 \over {2\sqrt {\left( {16 - {x^2}} \right)} }}} \right)$

Esta es la parte estoy luchando para conseguir mi cabeza alrededor, aunque llego a la misma respuesta.

Bien

$\arcsin {x \over 4} = 2y + 6$

pero, ¿cómo la respuesta, a continuación, ir a :

$\left( {\left( \pm \right){1 \over {2\sqrt {\left( {16 - {x^2}} \right)} }}} \right)$

hay un acceso directo o truco que se me pasa por alto?

Creo que necesito dormir un poco, gracias...

Answer 1

Para encontrar el $\frac{dy}{dx}$ $x$ $x=4 \sin(2y+6)$, no molesta con la diferenciación implícita. En su lugar:

En primer lugar, resolver $y$,

$$\frac{x}{4} = \sin(2y+6)$$

$$\arcsin(\frac{x}{4}) = 2y + 6$$

$$y = \frac{\arcsin(\frac{x}{4})-6}{2} = \frac{1}{2} \arcsin{\frac{x}{4}} - 3.$$

Ahora distinguir con respecto a los $x$,

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{16-x^2}} = \frac{1}{2 \sqrt{16-x^2}}.$$

Answer 2

Tenes:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{8\cos(2y+6)}$

Y tenemos

$x=4\sin(2y+6)\implies y=\dfrac{1}{2}\left(\sin^{-1}\left(\dfrac{x}{4}\right)-6\right)$

Enchufe en la ecuación superior:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{8\cos\left(\sin^{-1}\left(\dfrac{x}{4}\right)\right)}$

Sabemos que $\cos^2x+\sin^2x=1\implies \cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}$

y por lo tanto decimos $\cos(\sin^{-1}x)=\pm\sqrt{1-x^2}$, tenemos

$\dfrac{dy}{dx}=\pm\dfrac{1}{8\sqrt{1-\dfrac{x^2}{16}}}\implies \dfrac{dy}{dx}=\pm\dfrac{1}{2\sqrt{16-x^2}}$

Answer 3

Estás en el camino correcto. Observe que $$\cos^2(2y+6) = 1-\frac{x^2}{16}$ $ implica %#% $ #%