Concurso estilo desigualdad

Question

¿Alguien puede ayudarme con esta desigualdad? $a,b,c>0:$

$$\sqrt{\frac{2}{3}}\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\right)\leq \sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$$

Mi intento:

Primero intenté insertar una desigualdad más simple entre las expresiones pero se siente que se ajusta a nada simple. Luego me di cuenta de que podemos normalizar: restricción de $a+b+c=1$ puede ser hecho para parecerse a esto:

$$\sqrt{\frac{2}{3}}\left(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\right)\leq \sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$$

Otra idea es hacer $x=a/b,y=b/c, z=c/a:$

$$\sqrt{\frac{2}{3}}\left(\sqrt{\frac{1}{x(y+1)}}+\sqrt{\frac{1}{y(z+1)}}+\sqrt{\frac{1}{z(x+1)}}\right)\leq \sqrt{x+y+z}$$

Pero no puedo ver dónde ir desde aquí.

Answer 1

Usando la desigualdad de C-S, podemos obtener desde $$\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\right)^2\leq3\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right).$ $(b+c)\left(\frac1{b}+\frac1{c}\right)\geq4$ $, tenemos $\frac{a}{b+c}\leq\frac1{4}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)$, del mismo modo podemos tener $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq\frac1{4}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right).$ $

Así $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ debe ser menor o igual a o $\frac1{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)$ o $\frac1{2}\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)$. Si %#% $ de #% entonces podemos intercambiar $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq\frac1{2}\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right),$ y $b$, por lo tanto, siempre conseguimos el % por tanto desigualdad $c$ $ $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq\frac1{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right).$$

Answer 2

Puedo conseguir algo un poco más débil. Puesto que la raíz cuadrada es un cóncavo fucntion, tenemos \leq \sqrt{1/3 $$ 1/3(\sqrt{A}+\sqrt{B}+\sqrt{C}) (A + B + C)}. $$ Esto implica $$ \frac{\sqrt{3}}{3}\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}+\sqrt{C}\right)\leq \sqrt{A+B+C}. $$ Ahora, tomar $A=a/(b+c)$, $B=b/(a+c)$ y $C=c/(b+a)$. Desde $a,b,c>0$ tenemos $A<a/b$, $B<b/c$ y $C<c/a$. Entonces $$ \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}\right)\leq \sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}. $$

Answer 3

Después de usar C S $\left(\sum\limits_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}\right)^2\leq(a+b+c)\sum\limits_{cyc}\frac{1}{b+c}$ a obtener algo obvio.