Comprender la definición del motivo Lefschetz (efectivo puro)

Question

Para todos aquellos que probablemente no tengan respuestas a mis preguntas, proporciono algunas

Antecedentes:

En cierto sentido, los motivos puros son generalizaciones de las variedades proyectivas lisas. Cada Cohomología de Weil a través de la incrustación de variedades proyectivas lisas en la categoría de motivos puros de Chow .

Puros motivos efectivos

En la definición de motivos puros (digamos sobre un campo k), el último paso es tomar la categoría de motivos efectivos puros e invertir formalmente el motivo L de Lefschetz.

La categoría de motivos puramente efectivos es la envoltura pseudoabeliana de una categoría de clases de correspondencia, que tiene como objetos variedades proyectivas lisas sobre k y como morfismos X → Y ciclo clases en X×Y de dimensión dim X (piénsese en ello como una generalización de los morfismos, donde los morfismos se incluyen como sus grafos), donde un relación de equivalencia adecuada se impone, para tener una composición bien definida (de ahí la palabra "clases"). Cuando la relación adecuada es la equivalencia racional, la categoría resultante se denomina categoría de motivos efectivos puros de Chow.
En cada paso de la construcción, la estructura monoidal de un paso define una estructura monoidal en el paso siguiente.

Para más información, véase la pregunta de Ilya sobre el yoga de los motivos .

Definición del motivo Lefschetz

El motivo de Lefschetz L se define como sigue:

Para cada punto p en P¹ (espacio proyectivo unidimensional sobre k), existe el morfismo de incrustación Spec k → P¹, que puede componerse con el morfismo estructural P¹ → Spec k para producir un endomorfismo de P¹. Se trata de un idempotente, ya que la otra composición Spec k → Spec k es la identidad.
La categoría de motivos puros efectivos es pseudoabeliana, por lo que cada idempotente tiene un núcleo y, por tanto, [P¹] = [Spec k] + [algo] =: 1+L, donde el sumando [algo] se llama ahora motivo de Lefschetz L.

Propiedades

La definición de L no depende de la elección del punto p.

Desde nLab y Leçons de Kahn Aprendí que la inversión del motivo de Lefschetz es lo que hace que la categoría monoidal resultante sea una categoría monoidal rígida - mientras que la categoría de motivos puramente efectivos no es necesariamente rígida.

En la categoría de motivos puros, la inversa $L^{-1}$ se denomina T, el motivo de Tate.

Preguntas:

Estas preguntas están relacionadas de algún modo entre sí:

1. ¿Por qué este motivo L se llama "Lefschetz"?
2. ¿Por qué su inversa $L^{-1}$ llamado "Tate"?
3. ¿Por qué es precisamente esta construcción la que "rigidiza" la categoría?
4. ¿Funcionaría también otra construcción, o se trata de algo universal?
5. ¿Cómo debería pensar en L geométricamente?

No tengo casi ninguna formación en teoría de números, así que aunque tengas buenas respuestas, puede que me quede totalmente poco claro, por qué interviene el nombre de "Tate". Supongo, sin embargo, que el nombre "Lefschetz" tiene algo que ver con la fórmula de la traza de Lefschetz. Supongo que el procedimiento de invertir L es el único que hace que la categoría sea rígida, de alguna manera universal, pero no tengo ni idea de por qué. Además, supongo que no existe una imagen "geométrica" de L.

Si he cometido algún error en la sección de antecedentes, no dudes en editarla. Como actualmente estoy haciendo un primer curso sobre motivos, puede que ahora haya preguntado algo completamente estúpido. Si es así, por favor, indíqueme amablemente algún documento que me ilumine o, al menos, me permita ascender a un nivel superior de confusión.

UPDATE : Gracias hasta ahora por las respuestas, las preguntas 1-4 son ahora claras para mí. Me queda la duda de si la "rigidificación" podría lograrse mediante otra construcción, ¿quizás alguna forma universal de convertir una categoría monoidal en rígida? Entonces se podría identificar más tarde el motivo de Lefschetz como una especie de generador del núcleo del functor de rigidificación.
La intuición geométrica, pensar en L como una curva y en $L^{\otimes d}$ como una variedad d-dimensional, sigue siendo difusa, pero tengo la esperanza de que esto se aclare cuando haya trabajado un poco en los teoremas clásicos de Lefschetz/Poincare y en la demostración de las conjeturas de Weil para la cohomología de Betti (¿está justificada esta esperanza?).

Answer 1

Un poco más sobre las preguntas 3 y 4.

La propiedad básica del motivo de Lefschetz (en este aspecto) es el Teorema de Cancelación: $Hom(X,Y)\cong Hom(X\otimes L,Y\otimes L)$ para cualesquiera motivos efectivos X e Y. Si no se tiene esta propiedad para un objeto, entonces invertirlo es una operación "mala": el functor de la categoría "vieja" a la "nueva" está muy lejos de ser una incrustación completa.

Por lo tanto, no se debe invertir ninguna L si no satisface el teorema de cancelación. Si lo hace, entonces su imagen en los motivos ("habituales") de Chow es invertible (con respecto al producto tensorial). Conjeturalmente, cualquier motivo de Chow invertible es de la forma $M(n)$ donde $M$ es un motivo (efectivo) de dimensión cero que se convierte en isomorfo a 1 tras una extensión de campo de base finita.

Obtenemos: hay cierta flexibilidad en la elección de un motivo que se quiere invertir, pero dan el mismo resultado. No sé cómo definir 'rigidificador universal' para una categoría tensorial; probablemente no exista una construcción de este tipo que sea lo suficientemente bonita.

Answer 2

Permítanme hacer un comentario sobre la pregunta número 3: ¿por qué tenemos que invertir $\mathbb L$ para obtener una categoría rígida?

Obsérvese que la categoría formada por sumas directas de potencias de $\mathbb L$ es equivalente a la categoría de espacios vectoriales con gradación no negativa sobre $\mathbb Q$ (si trabajamos con $\mathbb Q$ - coeficientes), con $\mathbb L$ correspondiente a $\mathbf Q[1]$ un espacio vectorial unidimensional en grado 1. La equivalencia viene dada por $CH^*$ (grupos de Chow).

El hecho de que sea una equivalencia se deduce de que $Hom(\mathbb L^i, \mathbb L^j) = \mathbb Q$ si $i=j$ y 0 en caso contrario.

Ahora, para hacer una categoría rígida de los espacios vectoriales de gradación no negativa debemos incluir todos los $\mathbb Z$ -de modo que $\mathbb Q[1]$ es dual con $\mathbb Q[-1]$ . Esto corresponde a invertir $\mathbb L$ .

Y una vez que invertimos $\mathbb L$ efectivamente obtenemos una categoría rígida, como explicó Matt Emerton: el dual a $M(X)$ es $M(X)(-dim X)$ (Creo que el signo menos o no depende de las definiciones).

En cuanto a la pregunta ¿cómo pensamos en $\mathbb L$ la imagen es que la descomposición $M(\mathbb P^1) = 1 \oplus \mathbb L$ corresponde a la descomposición celular de $\mathbb P^1$ en la unión disjunta de un punto y una recta. Esto se generaliza a cualquier variedad que admita descomposición celular (grassmanianos y cuádricos, por ejemplo): sus motivos son sumas de motivos de Lefschetz, un sumando $L^d$ representa cada celda de dimensión d.

Answer 3

El motivo de $L$ se llama Lefschetz porque es el ciclo de la clase del punto en ${\mathbb P}^1$, y así que subyace (en cierto sentido) de la Lefschetz teoremas sobre la cohomology de las variedades. Para entender esto mejor, usted lo desea, puede leer acerca de cómo el duro teorema de Lefschetz para las variedades más finito campos de la siguiente manera a partir de la hipótesis de Riemann, así como una discusión de Grothendieck estándar de conjeturas y cómo se relacionan con el Weil conjeturas.

El motvie $L^{-1}$, cuando se convierte en un $\ell$-ádico Galois representación, es precisamente el $\ell$-ádico Tate módulo de las raíces de la unidad. Tensoring por este Galois representación es tradicionalmente llamado Tate torcer, y así el motivo que subyace a esta Galois representación se llama la Tate motivo.

Uno necesita tener $L^{-1}$ en la mano para que la categoría a admitir duales.

Si se trabaja con sólo costumbre singular cohomology, esto no sería necesario; la dualidad de Poincaré vincular $H^i$ con $H^{\text{arriba}-i}$ en $H^{\text{top}}$, que sería isomorfo con ${\mathbb Q}$ a través de la clase fundamental.

Pero motivically, si $X$ (liso, conectado, proyectiva) tiene dimensión $d$, de modo que la dimensión superior es de $2d$, entonces $H^{\text{top}} = L^{\otimes d}$, entonces $H^i$ y $H^{2d-i}$ de par en $L^{\otimes d}$. Para obtener un emparejamiento en $\mathbb Q$ (el trivial 1-dim l motivo) necesitamos para ser capaz de tensor por los poderes de $L^{-1}$. Tradicionalmente tensoring por el $$n th tensor de energía de $L^{-1}$ es denotado $(n)$; así nos encontramos por ejemplo, que $H^i$ pares con $H^{2d -i}(d)$ en ${\mathbb Q}$, y tenemos nuestra dualidad.

Usted puede ver en el hecho de que la copa del producto pares cohomology en los poderes de $L$ que invertir $L$ es precisamente lo que se necesita con el fin de obtener duales.

Finalmente, se debe pensar en $L$ como la clase fundamental de una curva, creo que de $L^{\otimes d}$ como la clase fundamental de un buen proyectiva $d$-dimensional múltiple de admisión, y también se sientan cómodos con la dualidad de Poincaré y la Lefschetz teoremas; estas son las ideas básicas que le ayudarán a darle sólidos geométricos sentido motivic construcciones.

Answer 4

Creo que el nombre L se elige porque corresponde al "operador L" de la "antigua geometría algebraica" sobre los números complejos (y que a su vez se llama L, estoy de acuerdo, probablemente en honor a Lefschetz). No sé qué notación utilizó el propio Lefschetz, pero por ejemplo el libro de Griffiths-Harris "Principles of Algebraic Geometry" introduce este operador L en la página 111 en el entorno de deRham. También como el operador clave para la descomposición de Lefschetz/Hard Lefschetz.

En todo el libro no se hace referencia a los motivos ni a las conjeturas de Weil, sino a las complejas y realistas múltiples. Así que, sólo como una sugerencia de lectura, si quieres leer sobre ello en un nivel elemental.

Quizá este sea un punto de partida más fácil que las cosas sobre campos finitos, etc., aunque hay que admitir que quizá no sea muy sexy.

El operador L se une aquí con la forma de Kähler, que no sería más que una forma (1,1) explícita que representa el punto en P1.

(con representar me refiero a que representa la clase de ciclo Chow -> deRham del punto a través de una forma diferencial explícitamente dada - y que debería reducirse a representar el "motivo" de la misma)