Dos desigualdades para $\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^rdx\right)^{\frac{1}{r}}$

Question

Demuestre que si $f\in \mathcal C^{n+1}([a,b])$ y $f(a)=f^{'}(a)=\cdots=f^\left(n\right)(a)=0,$ entonces las siguientes afirmaciones son ciertas:

$\mathbf a)$

$ \forall r\in[1,\infty),$ la desigualdad $$\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^rdx\right)^{\frac{1}{r}} \leq \frac{(b-a)^{n+\frac{1}{r}}}{n!(nr+1)^{\frac{1}{r}}}\int_{a}^{b}|f^{(n+1)}(x)|dx$$ se mantiene.

$\mathbf b)$

$ \forall r\in[1,\infty),$ la desigualdad $$\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^rdx\right)^{\frac{1}{r}} \leq \frac{2^{\frac{1}{r}}(b-a)^{n+\frac{1}{r}+\frac{1}{2}}}{n!\sqrt{2n+1}(2nr+r+1)^{\frac{1}{r}}}\left(\int_{a}^{b}|f^{(n+1)}(x)|^{2}dx\right)^{\frac{1}{2}}$$ se mantiene.

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Utilizando Teorema de Taylor con forma integral del resto ,puedo conseguir fácilmente $$\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^rdx\right)^{\frac{1}{r}} \leq \frac{(b-a)^{n+\frac{1}{r}}}{n!}\int_{a}^{b}|f^{(n+1)}(x)|dx.\quad(\star)$$ Intenté aplicar Desigualdad de Holder para integrales a $(\star) $ en cuestión $\mathbf a)$ Creo que estas dos preguntas pueden tener el mismo método. ¡Cualquier ayuda que pueda proporcionar será muy apreciada!

Answer 1

En primer lugar, señalemos una aplicación de estas desigualdades: acotan los diferentes(en términos de $L^r([a,b])$ ) entre una función suave y su aproximación de Taylor, ya que para cualquier $g\in \mathcal C^{n+1}([a,b])$ y su aproximación de Taylor $p_n$ de orden $n$ , $g-p_n$ satisface la condición dada. Entonces demostraremos estas desigualdades:

Tenemos por el Teorema de Taylor con forma Integral del Resto \begin{align} f(x) = \int_a^x\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt \end{align}

Entonces tenemos \begin{align} \int_a^b |f(x)|^rdx &= \int_a^b \left|\int_a^x\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt\right|^rdx \\ &\leq \int_a^b \left(\int_a^x \left|\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\right| \left|(x-t)^n \right|dt\right)^rdx \\ &\leq \int_a^b \left(\int_a^x \left|\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\right|dt (x-a)^n\right)^rdx \\ &\leq \left(\int_a^b \left|\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\right|dt\right)^r\int_a^b \left( (x-a)^n\right)^rdx \\ & = \left(\int_a^b \left|\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\right|dt\right)^r\frac{(b-a)^{nr+1}}{nr+1} \\ \end{align}

Así que obtenemos \begin{align} \left(\int_a^b |f(x)|^rdx\right)^{1/r} \leq \left(\frac{(b-a)^{nr+1}}{nr+1}\right)^{1/r} \int_a^b \left|\dfrac{f^{(n+1)}(x)}{n!}\right|dx \end{align} que es $\mathbf a)$

Para conseguir $\mathbf b)$ podemos proceder de forma similar utilizando la desigualdad de Holder

\begin{align} \int_a^b |f(x)|^rdx &= \int_a^b \left|\int_a^x\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt\right|^rdx \\ &\leq \int_a^b \left(\int_a^x \left|\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\right|^2dt \int_a^x \left|(x-t)^{2n} \right|dt\right)^{r/2} dx \\ &\leq \left(\int_a^b \left|\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\right|^2dt\right)^{r/2} \int_a^b \left(\int_a^x \left|(x-t)^{2n} \right|dt\right)^{r/2} dx \\ &= \left(\int_a^b \left|\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\right|^2dt\right)^{r/2} \int_a^b \left(\frac{(x-a)^{2n+1}}{2n+1}\right)^{r/2} dx\\ & = \left(\int_a^b \left|\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\right|^2dt\right)^{r/2} \left(\frac{1}{2n+1}\right)^{r/2} \left(\frac{(b-a)^{nr+\frac{r}{2} +1}}{nr+\frac{r}{2} +1}\right)\\ \end{align}

Answer 2

Hay una integración por parte para obtener el $nr+1$ plazo:

$$\int_a^b |f(x)|^r dx = \int_a^b \left| \frac{(x-a)^n}{n!} \int_a^x f^{(n-1)}(t) dt \right|^r dx$$

$$\leq \int_a^b \frac{(x-a)^{nr}}{n!^r} \left| \int_a^x f^{(n-1)}(t) dt \right|^r dx $$

$$\leq \int_a^b \frac{(x-a)^{nr}}{n!^r} \left( \int_a^x \left| f^{(n-1)}(t) \right| dt \right)^r dx $$

$$\leq \left[ \frac{(x-a)^{nr+1}}{n!^r(nr+1)} \left( \int_a^x \left| f^{(n-1)}(t) \right| dt \right)^r \right]_a^b - \int_a^b \frac{(x-a)^{nr+1}}{n!^r(nr+1)} r \left| f^{(n-1)}(x) \right| \left( \int_a^x \left| f^{(n-1)}(t) \right| dt \right)^{r-1} dx $$

Y como la segunda parte es negativa, se obtiene

$$\leq \left[ \frac{(x-a)^{nr+1}}{n!^r(nr+1)} \left( \int_a^x \left| f^{(n-1)}(t) \right| dt \right)^r \right]_a^b =\frac{(b-a)^{nr+1}}{n!^r(nr+1)} \left( \int_a^b \left| f^{(n-1)}(t) \right| dt \right)^r $$

De ahí el resultado