Hace una función regular en una variedad afín encuentran en el anillo de coordenadas?Lema 2.1, Joe Harris)

Question

Creo que la prueba de Lema 2.1 en Joe Harris libro de Geometría Algebraica, en el Primer Curso, no funciona. (La frase está en la Página 19, y la prueba en la Página 61.) La prueba falla debido a que el $gk_\alpha=h_\alpha$ es válido en $U_\alpha$, mientras que el último, pero una ecuación en la Página 61 de trabajar en el todo el dominio de la función regular.

He estado tratando de dar una prueba o encontrar un contraejemplo. La prueba para el caso en que la variedad es irreductible, es fácil. En el reducible caso, me las arreglé para reducir la cuestión a la siguiente:

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Supongamos que estamos trabajando con un algebraicamente cerrado campo K y una función regular en un subconjunto abierto de una variedad afín es, por definición, una función localmente representable como $F/G$,$F,G\in K[x_1,...,x_n]$, e $G$ no desapareciendo en un barrio. Supongamos que tenemos una gran variedad $V\subset \mathbb A^n$, $V=\cup V_i$ es la descomposición en componentes irreducibles de. Supongamos que tenemos $F,G\in K[x_1,...,x_n]$, de tal manera que $G$ divide $F$ en cada una de las $K[x_1,...,x_n]/I(V_i)$. De lo anterior se sigue que el $G$ divide $F$$K[x_1,...,x_n]/I(V)$?

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Intuitivamente, esto significa que $I(F)~$ contiene $I(G)~$ en cada componente implica la misma cosa en toda la variedad. Parece bastante razonable. Pero no estoy seguro de si habrá alguna anomalía al considerar "multiplicidades".

P. S. Usted puede asumir que $\cap V_i$ es no vacío, esto es suficiente para mi propósito. Aunque no creo que más de la asunción será de ayuda.

Gracias!

Answer 1

Bien, he notado el mismo problema que tú. Pero, en mi opinión, la prueba en la página 61 puede ser hecho lo correcto con sólo el leve siguiente precisión : consigue $k_\alpha g=h_\alpha$$U_\alpha$. Pero entonces usted puede elegir el $U_\alpha$ a distinguirse abrir conjuntos de $U_{f_\alpha}$. Entonces usted tiene $f_\alpha k_\alpha g=f_\alpha h_\alpha$ sobre todo $U_f$ (o incluso $\mathbb{A}^n)$ desde $f_\alpha$ es cero fuera de $U_{f_\alpha}$. Luego de finalizar la prueba como se indica el uso de $f_\alpha k_\alpha$ $f_\alpha h_\alpha$ en lugar de $k_\alpha$$h_\alpha$.