La Lindemann-Weierstrass Teorema establece que dado $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ números algebraicos que son linealmente independientes sobre$\mathbb{Q}$, $e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n}$ son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}$ (es decir, para cualquier función racional $P(z_1,\ldots, z_n)$ con algebraica de coeficientes de ello se sigue que $P(e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n})\neq 0$). Como resultado, con $n=1$ si $\alpha$ es algebraica que es distinto de cero, entonces a $e^\alpha$ es trascendental.
Ahora, supongamos que el $a$ es algebraico; a continuación, $ia$ es también algebraicas debido a $i$ es algebraico y el conjunto de todos los números algebraicos es un campo. A continuación, considere la función racional $P(z)=\frac{z^2-(2\cos a) z + 1}{2z}$ y asumir por el bien de una contradicción que se $\cos a$ es algebraico. $P(z)$ no es idéntica a cero y ha algebraica de coeficientes, sino $P(e^{ia})=0$ por la definición de $\cos a=\frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2}$, contradiciendo la suposición de que $a$ es algebraico por Lindemann-Weierstrass.
Por lo tanto, nos encontramos con que si $a$ es algebraica, a continuación, $\cos a$ es trascendental. Como resultado, si $a$ es un número complejo tal que $a=\cos a$, entonces si $a$ es algebraica, $\cos a=a$ es trascendental, dando una contradicción. Desde $a\neq 0$ porque $\cos 0 = 1$, nos encontramos con que $a$ es trascendental.
