Una fracción de campo no es finitely generado más de su subdominio

Question

Estoy en busca de pruebas de la siguiente hecho.

Supongamos que $R$ es un dominio que no es un campo con fracción de campo $K$. A continuación, $K$ no es finitely generado como $R$-módulo.

Sé que este hecho es cierto, por lo menos, al $R$ es Noetherian y supongo que es cierto en general. Yo sé de dos pruebas, una al $R$ es Noetherian y una (indirecto) al $R$ es Noetherian local. ¿Conoces alguna prueba directa para cualquier dominio arbitrario $R$?

Gracias!

Answer 1

La fracción de campo $K$ tiene la estructura de una $R$-módulo, y para cualquier ideal maximal $\mathfrak{m}$$R$, también, naturalmente, tiene la estructura de una $R_\mathfrak{m}$-módulo. Si $K$ es finitely genera como una $R$-módulo, a continuación, $K$ también debe ser finitely genera como una $R_\mathfrak{m}$-módulo, ya que $R_\mathfrak{m}\supseteq R$. Por lo tanto se limita al caso en el $R$ es local.

Deje $R$ ser un dominio local con ideal maximal $\mathfrak{m} \neq 0$. Claramente, $\mathfrak{m}K=K$. Pero el Jacobson radical de $R$ es sólo $\mathfrak{m}$, por lo que si $K$ es finitely genera como una $R$-módulo, a continuación, Nakayama del lema implica que $K=0$, lo cual es una contradicción.

Answer 2

Si $K$ es finitely generado más de $R$ integral $R$.
Pero dado dominios $R\subset K$ $K$ integral $R$, $K$ es un campo si y sólo si $R$ es un campo. (Atiyah-Macdonald, La Proposición 5.7)
Así que si $R$ no es una esfera sino $K$ es, $K$ no es parte integrante de más de $R$ y por lo tanto no finitely generado más de $R$.

Answer 3

Zev la prueba de los usos de la existencia de máxima ideales, y por lo tanto no constructiva. Pero no es difícil hacer la prueba constructiva, y de hecho más general:

Deje $R$ ser un anillo y $R'$ una localización de $R$. Si $R'$ es finitely generado y torsionfree$R$,$R=R'$.

Prueba. Deje $s \in R$ tal que $s^{-1} \in R'$. A continuación,$R' = sR'$. Generalizada Nakayama del Lema implica que hay algo de $a \in R$ tal que $(1-as)R'=0$. Desde $R'$ es torsionfree, esto significa $1=as$. Por lo $R'$ no tiene más unidades de $R$, es decir,$R=R'$.