El orden del grupo $G$ es impar. Demuestra el mapeo $f:G\to G$ por $f(x) = x^2$ es inyectiva.

Question

El orden del grupo $G$ es impar. Demuestra el mapeo $f:G\to G$ por $f(x) = x^2$ es inyectiva

Por si sirve de algo esto es lo que he probado.

Supongamos que $x,y \in G$ , $f(x) = f(y)$ . Queremos mostrar $x = y$ .

• Caso (i) $x$ o $y$ es $e$ (el elemento de identidad de $G$ ). Entonces, por ejemplo, dejemos que $x = e$ . Así que $x^2 = y^2$ . $e^2 = e = y^2$ . Así que $y^{-1} = y$ . Así que $y = e = x$ y hemos terminado o la orden de $y$ es $2$ lo cual es una contradicción ya que $|G|$ es impar.

• Caso (ii) Ninguno de los dos $x$ ni $y$ es $e$ . $x^2 = y^2$ .

Ahora me he quedado sin gasolina. He mirado algunas tablas de Cayley de $Z_n$ en la adición modular para impar $n$ . Por supuesto, los elementos de la diagonal son los elementos del grupo. No se me ocurren otros ejemplos de grupos de orden impar.

Answer 1

Sea el orden del grupo $2n - 1$ . $$x^2 = y^2 \implies (x^2)^n = (y^2)^n \implies x^{2n-1}x = y^{2n-1}y$$ y por el teorema de Lagrange, $$x^{2n-1} = e$$ así que $$x^{2n-1}x = y^{2n-1}y \implies x = y $$

Answer 2

En general: dejemos $|G|=n$ y que $m$ un número entero positivo con gcd $(m,n)=1$ . Entonces el mapa $f: G \rightarrow G$ definido por $f(x)=x^m$ es biyectiva.

Prueba Por el Teorema de Bézout podemos encontrar $a,b \in \mathbb{Z}$ , de tal manera que $am+bn=1$ . Nótese que el Teorema de Lagrange nos dice que $x^n=y^n=e$ .
Supongamos que $x^m=y^m$ . Entonces $x=x^{am+bn}=(x^{m})^a \cdot (x^{n})^b=(y^{m})^a \cdot e^b=(y^{m})^a \cdot (y^{n})^b=y$ . Así que $f$ es inyectiva y por tanto biyectiva, ya que $|G|$ es finito (Principio de la Colmena).