La conexión entre el grupo fundamental y cubriendo los espacios es fundamental. Es allí cualquier analógica para mayor homotopy grupos? No tiene sentido para mí que uno podría hacer un ramificada de la cubierta a través de un conjunto de codimension 3, ya que supongo, mi intuición es todo acerca de la 1-D bucles, y no de las esferas.
Respuestas
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Sin duda hay un homotopy de la teoría de la analógica. Una cobertura universal de la conexión de un espacio X es (hasta homotopy) simplemente se conecta el espacio X' y un mapa de la X' -> X, que es un isomorfismo en πn para n >= 2. Podríamos próximo pedir un 2 conectado a la cubierta de X" X': un espacio X" con πkX" = 0 para k <= 2 y un mapa X" -> X', que es un isomorfismo en πn para n >= 3. El homotopy de fibra de un mapa tendrá un único distinto de cero homotopy grupo, en la dimensión 1-será una K(π2X, 1). (Para la universalización de la cobertura de la fibra en el espacio discreto π1X = K(π1X, 0).)
Un ejemplo es el de Hopf fibration K(Z, 1) = S1 -> 3 -> S2.
Geométricamente es más difícil ver lo que está pasando con los 2 conectados a la cobertura que con la universalización de la cobertura, porque fibrations con la fibra de la forma K(G, 1) son más difíciles de describir que de fibrations con fibras discontinuas (que abarca los espacios).
Ryan Ahearn
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Al igual que no hay una cobertura universal de cada espacio, existe una natural $n$-conectado espacio $X_n$ que se asigna a cualquier espacio de $X$. La construcción de este espacio, usted puede agregar las celdas de dimensión $n+2$ y superior a $X$ para conseguir un espacio $Y$, junto con un mapa de $X \a Y$, que es un isomorfismo en $\pi_i$ por $i \leq$ n, pero tal que $\pi_i(Y)=0$ para $i>n$. El homotopy de fibra de $X_n \a X$ de este mapa es entonces el "$n$-conectado de la cubierta" de $X$; $X_n$ es $n$-conectado, pero tiene el mismo homotopy grupos como $X$ arriba $n$, como se puede ver fácilmente desde el largo de la secuencia exacta de los fibration. Los detalles de este, así como una prueba de la unicidad de la $n$conectada a la cubierta, están en Hatcher a partir de la página 410.
Más generalmente, si usted comenzó con un $(n-1)$-conectado espacio, se podía matar a los homotopy grupos de $X$ arriba $n$ y matar a un subgrupo de $\pi_n(X)$ y, a continuación, el homotopy fibra sería un "$n$-portada" de $X$ correspondiente al subgrupo de $\pi_n(X)$.
Jay Mooney
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Las respuestas anteriores dio análogos a el universal que cubre el espacio y miró a la homotopy grupos de estos análogos.
Sin embargo, la analogía con el n=1 caso no es completa: Mientras que \pi_ 1(X) clasifica los automorfismos de más de X de la universal que cubre el espacio, el \pi_ n(X) no clasifican a los automorfismos de más de X de estos n-conectado análogos. De hecho, la mayor \pi_ n(X) no parecen clasificar cualquier otra cosa que homotopy clases de mapas de S^n-->X.
Esta es una de las motivaciones para el uso de n-groupoids como invariantes de espacios, ver la discusión aquí, a la derecha, antes de las referencias: http://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+grupo+de+un+topos
o, a partir de la página 17 con una bonita historia sobre la invención de la mayor homotopy grupos, y el deseo de no abelian homología: http://www.intlpress.com/hha/v1/n1/a1/
Jon Colverson
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Puede ser una forma geométrica pero parcial respuesta a su pregunta. Esta es una idea que he aprendido de Dennis Sullivan. Como sabemos, pasando de $X$ a su cobertura universal $\widetilde{X}$ mata el grupo fundamental. Ahora, por Hurewicz podemos suponer que $H_2(\widetilde{X})=\pi_2(\widetilde{X})$, donde la matanza $H_2(\widetilde{X})$ es suficiente. Si asumimos $H_2(\widetilde{X})$ es de torsión libre, a continuación, cada generador $\alpha_i\en H_2(\widetilde{X})$ corresponde a un círculo paquete de $E_i$ sobre $\widetilde{X}$, es decir, $H_2(E_i)=H_2(\widetilde{X})/\mathbb{Z}\alpha_i$. Por lo tanto, si $\widetilde{X}$ era un colector de dimensión $n$ y $H_2(\widetilde{X})$ era libre de rango de $k$, a continuación, tomar las sucesivas círculo paquetes tenemos un colector de $E$ de dimensión $n+k$. Esto tiene el mismo alto nivel de homotopy grupos ($\pi_i$ por $i>2$) de $X$. El ejemplo dado por Reid Barton es una ilustración de esto. Sin embargo, para los colectores esto es lo más lejos que puede ir desde la matanza, incluso la parte libre de $\pi_3(\widetilde{X})$ (o, equivalentemente, la parte libre de $H_3(E)$) requiere que los paquetes de más de $E$ con fibra de $\mathbb{CP}^\infty$, que las tierras de nosotros fuera de la esfera de finito dimensionales colectores.
aphoria
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En lugar de sólo tomar homotopy grupos de una sola dimensión, se puede también pensar en el tipo algebraico de la entidad que detecta homotopy en dos días consecutivos de dimensiones, o de hecho cualquier número consecutivo de las dimensiones. En esta discusión, a partir de una anterior post, estamos mirando los fundamentales 2-el grupo que recoge homotopy en las dimensiones 1 y 2.
