¿Cómo de único es $e$ ?

Question

¿La propiedad de que una función sea su propia derivada es exclusiva de $e^x$ ¿o hay otras funciones con esta propiedad? Mi trabajo para $e$ es que para cualquier $y=a^x$ , $ln(y)=x\ln a$ Así que $\frac{dy}{dx}=\ln(a)a^x$ que es igual a $a^x$ si y sólo si $a=e$ .

Considerando ecuaciones de diferentes formas, por ejemplo $y=mx+c$ obtenemos $\frac{dy}{dx}=m$ y $mx+c=m$ sólo cuando $m=0$ y $c=0$ Así que no hay más solución que $y=0$ . Para $y=x^a$ , $\frac{dy}{dx}=ax^{a-1}$ , lo que creo que equivale a $x^a$ sólo cuando $a=x$ y por lo tanto no existen soluciones para una constante a que no sea la trivial $y=0$ .

¿Es esta propiedad exclusiva de las ecuaciones de la forma $y=a^x$ ¿o existen otros casos en los que es cierto? Creo que esta es una pregunta que posiblemente podría responderse a través de ecuaciones diferenciales, ¡aunque desgraciadamente todavía no estoy familiarizado con ellas!

Answer 1

Supongamos que $f(x)$ es una función tal que $f'(x)=f(x)$ para todos $x\in\Bbb{R}$ . Considere el cociente $g(x)=f(x)/e^x$ . Podemos diferenciar $$ g'(x)=\frac{f'(x)e^x-f(x)D e^x}{(e^x)^2}=\frac{f(x)e^x-f(x)e^x}{(e^x)^2}=0. $$ Por el teorema del valor medio se deduce que $g(x)$ es una constante. QED.

Answer 2

Considere la ecuación $y'=y$ . Nuestro objetivo es resolver la función $y=f(x)$ . A grandes rasgos $$\frac{dy}{dx}=y \implies \frac{dy}{y}=dx \implies \int\frac{dy}{y}=\int dx \implies\ln(y)=x+C \implies y=e^{x+C}=Ae^x$$

para alguna constante $A$

Answer 3

Puede que esta no sea la respuesta que busca, pero es una buena opción a tener en cuenta.

Considere $y=\cos(ix)-i\sin(ix)$ .

Puede que lo encuentres:

$$\frac{dy}{dx}=-i\sin(ix)-i^2\cos(ix)=\cos(ix)-i\sin(ix)$$

Así, $y'=y$ se satisface. Dado que $y(0)=1$ , $y'(0)=1$ , $\dots$ entonces, por el teorema de Taylor, tenemos $e^x=\cos(ix)-i\sin(ix)$ o más comúnmente conocido como

$$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$

Que es la fórmula de Euler para exponentes complejos.

Answer 4

La ecuación $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = f(x) $$ es un lineal (por lo tanto Lipschitz continuo ), de primer orden ecuación diferencial ordinaria en $\mathbb{R}$ . Por el Teorema de Picard-Lindelöf dicha ecuación tiene una solución única para cualquier condición inicial de la forma $$ f(0) = y_0 $$ con $y_0 \in \mathbb{R}$ . En particular, para la condición $$ f(0) = 1 $$ la solución única es $f = \exp$ Así que, dada esa condición, $e \equiv \exp(1) = f(1)$ es único.

Para la condición inicial general, se obtiene, porque la EDO es lineal que la solución es siempre $$ f(x) = y_0 \cdot \exp(x). $$