Podemos ver de forma manual que $2^p-1$ no es primo. Como $2047$ no es un número primo. $2^{11} = 2048$.
Pero soy incapaz de encontrar una manera formal de refutar la declaración.
Respuestas
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Ustedes han demostrado un contraejemplo, por lo que es una prueba formal.
Todo lo que usted necesita para escribir es algo así como "La afirmación es falsa: p=11 es un número primo, pero $2^{11} - 1= 23 \times 89$ no es primo."
Tratando de un montón de casos es una técnica válida para refutar algo (pero no necesariamente para demostrar algo a menos que usted puede completar una búsqueda exhaustiva o mostrar una reducción a un conjunto donde usted puede de manera exhaustiva búsqueda; un número decente de la combinatoria/álgebra de las pruebas se han realizado mediante la reducción a un conjunto de los (muchos) de los casos y, a continuación, de forma exhaustiva comprobación de los casos a través de la computadora).
Bob Happ
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235
Para refutar una afirmación que es falsa, un solo contraejemplo es suficiente, y en este caso en particular, ya has proporcionado es: $$2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89.$$
Este es formal suficiente. Para los matemáticos profesionales, la más simple, un mínimo de forma para lograr el objetivo es la mejor manera, como se evidencia en la vieja broma sobre el matemático, quien escapó de lo que Houdini no podía por la redefinición de "dentro" y "fuera".
Pero si usted quiere, usted puede agregar algunos comentarios y hacer formal por empezándolo con la palabra "comentario." Por ejemplo:
Observación. El más grande conocido de Mersenne prime de este escrito es $2^{74207281} - 1$, que se cree es el $49^{\textrm{th}}$ Mersenne prime. Dado que el $74207281$ $4350601^{\textrm{st}}$ prime, esto sugiere que casi cualquier prime $p$ le dará un primo de la forma $2^p - 1$.
Inquisitive
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Aquí hay una posible general de la prueba:
Si los números primos están distribuidos al azar, como está ampliamente, y cree firmemente, a continuación, $x=2^p-1=prime$ es falso.
Prueba:
Suponga $p_s$ es el más pequeño posible prime. A continuación, $x=2^{p_{s}}- 1$ debe ser el próximo primer. Esto significa que $x$ determina el siguiente prime en la secuencia y así sucesivamente. Esto contradice la creencia fundamental de que los números primos son distribuidos al azar.
Si el primer número se encuentra entre el$p_s$$x=2^{p_{s}}- 1$, entonces esto contradice $p_s$ es el más pequeño prime porque algo menor que $p_s$ tendría que construir ese ínterin, el primer. También, algo menor que $p_s$ tendría que existir para que se construya $p_s$ a través de el mismo patrón.
Faiz
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Si $p$ es un primo de la forma $4k+3$, de tal manera que $2p+1$ es también principal, se puede probar que el $2p+1|2^p-1$.
Así que usted tiene una familia de números primos ser un contraejemplo a la demanda.
Se cree, pero no se ha probado que una cantidad infinita de números primos $p=4k+3$ existen, de tal manera que $2p+1$ es también el primer.
ben locas
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También podrías hacer una prueba por contradicción (que en este caso sólo sería una manera más formal la frase de la prueba).
En este método, usted empezar por asumir que el contrario de lo que quiere demostrar que es verdadero (en nuestro caso, suponiendo que $2^p - 1$ es una de las principales). Dado lo que sabemos, 2047 deberían ser los principales, debido a que sigue la forma de $2^p - 1$.
Sin embargo, podemos ver que:
$2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047$
Sabemos 2047 no es un número primo, porque 2047 = 23 * 89.
Ahora hemos llegado a la contradicción de la parte de la prueba. Según nuestra hipótesis, en el comienzo de la prueba, cualquier número de la forma $2^p - 1$ deberían ser los principales. Nos acaban de demostrar esta hipótesis a llevar a una contradicción, y por lo tanto debemos abandonar esta suposición como falsa.
