Existen condiciones de integración?

Question

Cuando podemos diferenciar una función de $f(x)$, hay condiciones en las que la derivada no existe y no puede ser diferenciable. Sin embargo, he intentado buscar en línea para cualquiera de las condiciones para la integración y no he encontrado nada.

Hay casos donde $F(x)$ no existe desde $\int f(x)dx$? En otras palabras, lo que hace que una función no integrable?

Answer 1

Un delimitada la función $f:[a,b]\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es integrable si es continua. En realidad, $f$ sólo necesita ser casi continua, lo que significa que puede ser discontinua en countably-muchos puntos y todavía ser integrable.

Answer 2

Un resultado interesante, debido a Darboux es que los productos que tiene el Valor Intermedio de la Propiedad. Como consecuencia, si $f$ no tiene el Valor Intermedio de la Propiedad, a continuación, $f$ puede tener todas partes definidas antiderivada $F$.

Comentario: Su pregunta acerca de la integral indefinida. Sin embargo, la noción de interés primario es el de la integral definida. Para la mayoría de los matemáticos de los propósitos, de las otras respuestas son de gran utilidad.

Answer 3

La función de $f:[0;1]\to \mathbb R$ definido por $$f(x) = \begin{cases}0 \mathrm{\;if\;}x\notin\mathbb Q\\1 \mathrm{\;if\;}x\in\mathbb Q\end{cases}$$ no es Riemann-integrable : ver aquí.

Answer 4

Usted está preguntando cuando $$\int\limits_E f(x)dx$$ exists, where $E$ is some subset of the real line. This depends on your definition of integral. For example, take $f(x) = x$. One way to interpret $$\int_{-\infty}^{\infty} xdx$$ is as $$\lim\limits_{a \to \infty} \int_{-a}^a xdx$$ and this is clearly $0$. But there are other ways to interpret this integral and have it not converge. For example, if you let the positive bound to go infinity faster than the negative bound: $$\lim\limits_{a \to \infty} \int_{-a}^{2a} xdx$$ en Realidad, usted puede modificar la forma en que el positivo y negativo de los límites ir hasta el infinito y hacer que la integral de salir a lo que usted desea.

Por otro lado, la integral de Lebesgue $\int\limits_{(-\infty,\infty)} f(x)$ se define de manera muy diferente, y no está abierto a la interpretación. Está de acuerdo con la integral de Riemann en intervalos acotados en la mayoría de las funciones interesantes, pero, por definición, $\int\limits_{(-\infty,\infty)} f$ existe si y sólo si, cuando sólo se integran en las partes donde $f$ es positivo, y cuando se integra en las partes donde $f$ es negativo, cada uno de los converge. Por lo $$\int\limits_{(-\infty,\infty)} xdx$$ no se define como una integral de Lebesgue.