Integrales de contorno en coordenadas complejas en CFT 2D

Question

A mi entender, en una CFT 2D con coordenadas complejas, las coordenadas $z$ y $\bar{z}$ deben tratarse como independientes, y sólo al final del cálculo se debe tomar $\bar{z}=z^*$ . Pero no estoy seguro de qué significa esto para una integral de contorno. ¿Qué significa exactamente integrar una función de ambas coordenadas sobre una sola? Por ejemplo, en

$$\oint \phi(z,\bar{z}) dz,$$

¿Integro sólo sobre $z$ para que el resultado de la integral sea una función de $\bar{z}$ o bien obtengo un número (es decir, el resultado es independiente de $\bar{z}$ )? Y en este último caso, ¿cómo se calcula la integral?

Además, ¿en qué se diferencia esta integral de la integral

$$\oint_\gamma dz \oint_\delta d\bar{z}\phi(z,\bar{z}),$$

donde $\gamma$ es el contorno en $z$ y $\delta$ es el contorno en $\bar{z}$ ? Y, en particular, ¿se $\delta$ tiene que ser el conjugado de $\gamma$ es decir $\delta=\gamma%*$ ? (Para un ejemplo de una integral de este tipo, véase la ecuación 6.7 de Di Francesco)

Answer 1

Esta es una pregunta bastante interesante, ya que hay dos maneras diferentes de ver esto. Voy a intentar dar una idea de ambos puntos de vista:

(para quien no se moleste en leerlo todo, basta con leer el `` Nota '' en ambos casos como ejemplo representativo)

1. Le site matemático (que es también el punto de vista que conozco). A continuación, $z$ y $\bar z$ son no de cualquier manera independiente como cabía esperar a primera vista. Sólo trabajamos con el plano complejo, definido originalmente en las dos coordenadas reales $x$ y $y$ y cualquier punto puede ser descrito de forma equivalente por $z := x+iy$ . El conjugado complejo es entonces simplemente una función de $z$ definido por $\Re (z) - i \Im(z) = x-iy$ y se denota $\bar z$ . Además, una define el derivado $\frac{\partial}{\partial z} := \frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}$ y su complejo conjugado $\frac{\partial}{\partial \bar z} := \frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}$ . Estas definiciones no se eligen de forma arbitraria, de hecho se puede derivar que, por ejemplo $\frac{\partial}{\partial z} z = 1$ y $\frac{\partial}{\partial \bar z} z = 0$ . Si entonces tenemos un en el plano complejo entonces, en principio, podríamos escribir simplemente $f(z)$ (ya que sólo es una función de $z$ ), pero a veces es útil escribir $f(z,\bar z)$ para denotar el hecho de que no suponemos que $\frac{\partial}{\partial \bar z} f = 0$ . Así que en este caso escribir $f$ en función de $z$ y $\bar z$ no es literal, y no implica que las tratemos como variables independientes. Es sólo para denotar que es una función muy general. Si nuestra función $f$ es especial, tal que $\frac{\partial}{\partial \bar z} f = 0$ llamamos $f$ holomorfo y denotarlo como $f(z)$ . Si queremos integrar sobre el plano complejo Podemos hacerlo de la manera más obvia $\int f dxdy$ . Nótese que se trata de una integral bidimensional. Equivalentemente, ya que $z = x+iy$ tenemos que $dz = dx + idy$ y $d\bar z = dx - idy$ , de tal manera que $dz d\bar z = -2i dxdy$ (donde utilizamos $(dx)^2 = 0$ ), también podemos escribir $\frac{i}{2} \; \int f \; dz d\bar z$ . También es posible que queramos ver integrales de contorno en cuyo caso integramos sobre un subconjunto unidimensional del plano complejo. Sea $\gamma(t)$ sea una curva de este tipo. Entonces, escribiendo $\int_\gamma f(z,\bar z) dz$ es definido para significar $\int f(\gamma(t),\bar \gamma(t)) \; \gamma'(t) dt$ . Además, si consideramos integrales de contorno de funciones holomorfas y luego está toda la rama del análisis complejo con algunos bellos resultados como la fórmula integral de Cauchy $f(z_0) = \int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0} dz$ donde $\gamma$ es cualquier contorno que rodea $z_0$ . [ Nota: así que en esta forma de ver las cosas, la expresión $\oint \phi(z,\bar z) dz$ sería sólo un número, y no una función de $\bar z$ ya que por definición es $\int \phi(\gamma(t),\bar \gamma(t)) \gamma'(t) dt$ donde $\gamma(t)$ es la curva integrada sobre].
2. Y aparentemente el CFT punto de vista. Allí parece $z$ y $\bar z$ son tratados `` independientemente ''. La pregunta principal es entonces: ¿cómo exactamente, y cómo se compara con el punto de vista anterior? Al fin y al cabo, si uno abre un libro de matemáticas, lo más probable es que vea el tratamiento siguiente a (1), así que es bueno saber cómo hay que comparar las cosas. El punto principal parece ser el siguiente: mientras que $z$ y $\bar z$ son estrictamente dependientes entre sí (como se ha comentado en el punto de vista 1) no son algebraicamente dependientes. Es decir, no se puede escribir $\bar z$ como algún polinomio en $z$ . Esto tiene una consecuencia importante: si se descompone una función $f(z,\bar z)$ algebraicamente en términos de $z$ y $\bar z$ (por ejemplo, a través de una serie de potencias), entonces esto no es ambiguo. Por ejemplo, si escribo $f(z) = z + \bar z ^2 + 2 z \bar z$ Sé que hay no hay otra manera de escribirlo en términos de $z$ y $\bar z$ . (Esto sería totalmente diferente si $\bar z$ podría expresarse como $g(z)$ donde $g$ es algebraico). Esto significa que es totalmente coherente de mi parte considere $f(z,\bar z)$ como una función de dos variables independientes, siempre y cuando sólo considere las operaciones algebraicas . Esta forma de ver las cosas es realmente agradable: mientras que en el punto de vista (1) una función general $f(z,\bar z)$ no tiene métodos agradables para ello (a diferencia de las funciones holomorfas), en el punto de vista (2) podemos considerar $f(z,\bar z)$ como descompuesta en funciones holomorfas de nuestras dos variables. Ejemplo: la función $f(z,\bar z) = z + 2 z \bar z$ define de forma única la función $g(u,v) = u + 2uv$ que es holomorfo en las dos coordenadas complejas $u$ y $v$ y $f(z,\bar z) = g(z, \bar z)$ . La cuestión es que ahora podemos utilizar nuestros trucos holomórficos (Cauchy, etc.) sobre esta función $g$ . Eso es ahora lo que ocurre implícitamente en expresiones como (6.7) de Di Francesco. Es decir, allí actuamos realmente como si $z$ y $\bar z$ son dos números complejos que no tienen nada que ver entre sí, de manera que podemos descomponer las funciones generales $\phi(z,\bar z)$ en una serie de potencias donde los coeficientes están determinados por la fórmula integral de Cauchy, tal como estamos acostumbrados para las funciones holomorfas de una variable. [ Nota: así que en esta forma de ver las cosas, la expresión $\oint \phi(z,\bar z) dz$ sigue siendo una función de $\bar z$ La expresión se define expandiendo primero $\phi(z,\bar z)$ en una serie de potencias de $z$ y $\bar z$ y, a continuación, sustituir temporalmente $z \to u$ y $\bar z \to v$ y luego emplear el análisis complejo de dos variables (con una integral de contorno para la primera variable) y luego volver a enchufar $u \to z$ y $v\to \bar z$ . Por supuesto, una vez que se entiende el punto, esto no se hace explícitamente y está simplemente implícito en las expresiones].

Answer 2

Posiblemente, no le convenza del todo mi respuesta sobre la OP. Pero trataré de aclarar un poco esa respuesta aquí. Espero que le sirva de ayuda.

A mi entender, las coordenadas complejas se introducen mediante la complejización del espaciotiempo. Es sólo una generalización de la continuación. En concreto, primero tomamos $\sigma_1$ , $\sigma_2$ como números complejos y tomar la transformación; $$ z_1=\sigma_1+i\sigma_2,\\ z_2=\sigma_1i\sigma_2. $$ Aquí debemos tomar $z_1$ , $z_2$ como variables complejas completamente independientes ya que ahora $\sigma_1$ y $\sigma_2$ también son variables complejas. Esta comprensión se justifica por el hecho de que la transformación anterior no tiene sentido si insistimos en que $\sigma_1$ , $\sigma_2$ son números reales porque la transformación tiene coeficientes complejos y eso significa que ahora estamos trabajando $\mathbb{C}^2$ en lugar de $\mathbb{R}^2$ . Ahora todos los campos originales como $(\sigma_1,\sigma_2)$ se convierten en campos en $\mathbb{C}^2$ (4 dimensiones reales). Todo esto es simplemente lo mismo que continuar una función real a una función compleja. Si queremos volver a la función real, simplemente nos limitamos en el eje real. Así que, de forma similar, si queremos volver al caso físico, simplemente limitamos $\sigma_1$ , $\sigma_2$ como variables reales, de forma equivalente, restringir $z_2=\bar z_1$ . Pero antes de ver el resultado final, hay que tratar todo el proceso intermedio que $z_1$ , $z_2$ son variables complejas independientes. Así que para evitar confusiones, basta con sustituir $z$ , $\bar z$ avec $z_1$ y $z_2$ en los cálculos intermedios y sólo se fija $z_1=z$ , $z_2=\bar z$ en el último paso (para volver a la superficie real). Y efectivamente, $dz(z_1,z_2)$ es generalmente una función de $z_2$ . Además, los coutours integrales de $z_1$ , $z_2$ también son independientes. Una de sus confusiones es que, ¿cómo puede un resultado final como $\phi(z_2)$ que sólo es antiholomorfo puede volver al caso físico estableciendo $z_2=\bar z_1$ . En realidad, por fin, sólo tenemos que establecer $z_1=z$ , $z_2=\bar z$ . Por ejemplo, cuando obtenemos una expresión final $\phi(z_2)$ después de integrar $z_1$ entonces el resultado físico es simplemente $\phi(\bar z)$ y significa que tenemos un operador desacoplado de los grados de libertad que se mueven a la izquierda. Ver aquí por el argumento más autorizado que ustedes quieren creer. (El último párrafo debajo de la Ec.(5.11), "La primera pregunta que viene a la mente....").