¿Por qué la prueba por contrapositivo hacer sentido intuitivo?

Question

Si usted tiene dos estados P y Q, y decimos que P implica Q, que sugiere que P contiene a P. Entonces, si tenemos P, debemos tener Q porque está dentro de P. Este es mi comprensión intuitiva de la implicación.

Por otro lado, si no tenemos Q, por mi ejemplo anterior no implica que no tenemos P, ya Q es solo una de las cosas contenidas dentro de P. Entonces, ¿por qué tendría que muestra que cuando no tenemos Q no tenemos P prueban la implicación?

En definitiva, lo que la comprensión de la implicación material es necesario para la prueba por contrapositivo para hacer sentido intuitivo? Entiendo que las tablas de verdad son las mismas, pero que no proporciona la intuición, en mi opinión.

Answer 1

Si usted quiere tener un "conjunto de contención" una especie de intuición, probablemente, usted debe hacer lo contrario: el pensamiento de $P \implies Q$$P \subseteq Q$. La intuición es que si usted está en alguna situación donde $P$ es verdadera (es decir, "estar contenidas en $P$") $Q$ también es cierto para esta situación ("contenido en $Q$"). En particular, $Q$ puede contener más que $P$, y esto hace claro que hay situaciones en las que $Q$ es verdad, pero de $P$ es falso. (Por ejemplo, "$n$ es un múltiplo de a $4$" implica "$n$ es incluso" pero hay números como $n=6$ que son, incluso, pero no múltiplos de $4$.)

Con el conjunto correcto de contención de formulación, es fácil ver el contrapositivo es equivalente. $\lnot Q \implies \lnot P$ puede ser considerado como $Q^c \subseteq P^c$ cuando la $c$ denota el conjunto de complemento, y usted puede ver que esto es equivalente a $P \subseteq Q$.

Una situación en la que este conjunto de contención de la idea se lleva a cabo en la probabilidad de eventos. Por ejemplo, $X > 4$ implica $|X| > 4$, por lo que tenemos $\{X > 4\} \subseteq \{|X| > 4\}$$\mathbb{P}(X>4) \le \mathbb{P}(|X|>4)$.

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Edit: debo mencionar que el programa de instalación todavía puede mostrar que el contrapositivo es equivalente (ver JMoravitz la respuesta). Usted sólo tiene que permanecer consistente con su configuración: el conjunto de $P$ denota todas las hipótesis que $P$ implica. En virtud de su configuración, si $Q$ no es cierto, entonces el complemento de $Q$ contiene todo el complemento de $P$, lo $\lnot Q \implies \lnot P$, aunque el complemento de $Q$ todavía puede contener algunas cosas en $P$.

Answer 2

Ya que parece que están pensando en términos de subconjuntos, es como decir que si $P\supseteq Q$ $Q^c\supseteq P^c$ (en el sentido de que si $P$ es el conjunto de todas las cosas que sabemos que es verdad como nuestra hipótesis, la totalidad de $Q$ está entre las cosas que nosotros conocemos como un resultado ser cierto. Por otro lado, si $Q^c$ es el conjunto de todas las cosas que sabemos que es verdad, entonces la totalidad de $P^c$ está entre las cosas que sabemos que es verdad)

En la siguiente imagen, $P$ contiene $Q$ como un subconjunto. El tono más claro indica que es utilizada tanto por $P$$Q$.

Por otro lado, mirando a los complementos, el área fuera de $Q$ (en parte, no todo, de lo que está en rojo) contiene el área fuera de $P$ (en rosa) como un subconjunto. De nuevo, el tono más claro es el área utilizada en ambos.

Answer 3

si $P$ es verdadera, entonces el $Q$ tiene que ser verdadera.

Pero supongamos que $P$ es cierto, y $Q$ es falso. Pero, ya hemos dicho que si $P$ es verdadera, entonces el $Q$ tenía que ser verdad. Por lo tanto, esto es una imposibilidad. Por lo tanto, podemos concluir que $P$ es falso.

La verdadera declaración de la contrapositivo no está calificado con un valor de verdad, en la forma en que lo he hecho anteriormente, pero esta es una manera de pensar acerca de ello.

$P \implies Q \iff \neg Q \implies \neg P$ es, por supuesto, comprueba fácilmente con una tabla de verdad así.

Answer 4

Usted está pidiendo sentido intuitivo, y las otras respuestas son excelentes en las pruebas lógicas, sino por la intuición me gusta ejemplos concretos.

If I have tomatoes, I must have gone to the store.
\--------v-------/  \-------------v-------------/
         P                        Q

Contrapositivo:

If I didn't go to the store, I can't have tomatoes.
\-----------v-------------/  \---------v---------/
            !Q                         !P

Por la comparación, si no tengo los tomates no sé si fui a la tienda o no. Me puede haber pasado y no la compré. Mismo con haber ido a la tienda, puede o no haber comprado tomates.

¿Eso ayuda?

Answer 5

Creo que esto viene de lo que significa para una proposición para "contener" a otra proposición. Hay dos maneras de pensar acerca de esto, y de ambas maneras de pensar son válidas, pero son incompatibles.

Vamos a hablar acerca de los predicados en lugar de proposiciones, debido a que los predicados de trabajar mejor con la "opción 2" a continuación. Por el bien de ejemplo, consideremos el caso donde $P$ es el predicado "es un poco de azúcar" y $Q$ es el predicado "es dulce". (Tenga en cuenta que, por supuesto, que el azúcar es dulce, por lo $P$ implica $Q$.)

Opción 1: los Predicados de "contener" a todos los criterios que conllevan

Se podría pensar de un predicado como "contiene" o "hecho de" todas las condiciones o criterios que el predicado implica-todas las cosas que deben ser verdaderas para que el predicado se mantenga.

Por ejemplo, algunos de los criterios que el predicado "es azúcar" se supone "es una sustancia química", "es un sólido a temperatura ambiente", y "puede ser probado".

Ahora, que escribió en su pregunta:

Si usted tiene dos estados P y Q, y decimos que P implica Q, que sugiere que P contiene a P. Entonces, si tenemos P, debemos tener Q porque está dentro de P. Este es mi comprensión intuitiva de la implicación.

Esta comprensión de las mallas con la "opción 1" aquí. El predicado "es azúcar" se puede decir que "contienen" el predicado "es dulce", porque todos los "criterios para la dulzura" son también condiciones necesarias para ser azúcar.

Sin embargo, la siguiente parte de tu pregunta no la malla con la "opción 1":

Por otro lado, si no tenemos Q, por mi ejemplo anterior no implica que no tenemos P, ya Q es solo una de las cosas contenidas dentro de P.

Sí, es cierto que si usted tiene algo que no es dulce, luego de que la cosa ha fallado sólo uno de los criterios para ser de azúcar. Pero uno es todo lo que se necesita: si algo ha fallado incluso sólo uno de los criterios para ser el azúcar, luego de que la cosa no puede ser de azúcar.

Opción 2: los Predicados de "contener" a todas las cosas que sostienen la verdad de

Se podría pensar de un predicado como "contiene" o "hecho de" todas las cosas por las que el predicado es verdadero. De modo que el predicado "es azúcar" está hecha de todas las cosas que son de azúcar, y el predicado "es dulce" está hecha de todas las cosas que son dulces.

Observe que ahora la relación de contención es "hacia atrás". Todas las cosas que son de azúcar también son un dulce, así que la colección de todas las cosas dulces, que contiene la colección de todos los azúcares (estamos diciendo que $Q$ contiene $P$ ahora).

Echemos un vistazo a la segunda parte de su pregunta según esta interpretación:

Por otro lado, si no tenemos Q, por mi ejemplo anterior no implica que no tenemos P, ya Q es solo una de las cosas contenidas dentro de P.

En virtud de la "opción 2" interpretación, $Q$ en realidad no contienen todas las cosas que $P$ contiene. Así que si tenemos algo que no está en $Q$ (algo que no es dulce), entonces no puede ser en $P$ (no puede ser de azúcar).