¿Qué significa la frase "excepto posiblemente en $a$ en sí mismo" en la definición de un límite?

Question

La definición de límite dice que $f(x)$ sea una función definida en algún intervalo abierto que contenga el número $a$ , excepto, posiblemente, en $a$ sí mismo. Entonces decimos que el límite de $f(x)$ como $x$ se acerca a $a$ es $L$ Si....{el resto de la definición se deja para facilitar la pregunta}.

¿Qué significa la frase "excepto posiblemente en $a$ mismo" significa? ¿Cuál es el significado de la definición del intervalo, abierto, es decir, por qué no cerrado?

Answer 1

Aquí hay una respuesta a un nivel más de cálculo y no tanto de análisis real.

Dejemos que $f(x)$ sea una función definida en algún intervalo abierto que contenga el número $a$ , excepto, posiblemente, en $a$ sí mismo.

"excepto posiblemente en $a$ mismo" significa que la función puede no estar realmente definida en $x = a$ . Y ni siquiera es necesario que una función esté definida en $x=a$ para que el límite como $x \to a$ de existir. Esto se debe a que el límite de $f(x)$ como $x \to a$ describe cómo $f(x)$ se comporta cerca de $x=a$ y no necesariamente en $x = a$ .

Por ejemplo, $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ no está definido para $x=2$ . Pero podemos calcular el límite de la siguiente manera: $$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2} (x+2) = 4$$

Esto significa que como $x \to 2$ nuestra función $f(x)$ mira (se comporta) como si se acercara al valor $f(x) = 4$ . Y de nuevo, la función ni siquiera está definida en $x = 2$ pero esto es irrelevante para el límite.

Para que quede claro que el valor de la función en $x=a$ es irrelevante para el límite ya que $x \to a$ Considere las tres funciones siguientes:

• $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$
• $g(x) = x^2$
• $h(x) = \begin{cases} x+2, & x \ne 2 \\ 10, & x = 2\end{cases}$

Estas tres funciones tienen el mismo límite que $x \to 2$ . El límite es $4$ . Pero ten en cuenta lo siguiente:

• $f(x)$ ni siquiera está definido en $x=2$ .
• $g(x)$ es definido en $x=2$ y $g(2) = 4$ que es el mismo valor que el límite.
• $h(x)$ es definido en $x=2$ pero $h(2) = 10$ que no es el mismo valor que el límite.

Answer 2

De forma más general, la definición de límite de una función $f$ en un punto $a$ requiere que $a$ es un punto límite para el dominio de $f$ Véase, por ejemplo, la definición 4.1 del libro de Rudin, tercera edición.

Cuando $a$ es un punto límite para el dominio de una función $f$ , estás seguro de que siempre es posible evaluar $f(x)$ cuando $x\rightarrow a$ ; esto hace que la expresión esté bien definida:

\begin{equation} \lim_{x\rightarrow a} f(x) \end{equation}

Recuerda que si $a$ es un punto límite de un conjunto $D$ puede ser que $a\in D$ o no.

Muchos libros optan por definir el límite de las funciones sin el concepto de punto límite de un conjunto, por lo que escriben condiciones para saltarse el vacío. Cuando el libro dice "excepto posiblemente en $a$ mismo", simplemente refleja la propiedad de un punto límite de un conjunto de pertenecer o no al propio conjunto.

Para la segunda respuesta: tu libro elige el punto $a$ en un intervalo abierto para hacer posible $x\rightarrow a$ desde la izquierda o la derecha.

Si eliges $a$ para estar en un intervalo cerrado, puede ser posible que $a$ es un punto final; por ejemplo $a\in [a, b]$ pero en este caso se puede hacer $x\rightarrow a$ sólo desde la derecha y no desde la izquierda; esto hace la definición de "límite derecho" y no la definición de límite en general.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Un intervalo abierto que contiene $a$ también contiene todos los puntos suficientemente cercanos a $a$ . Por eso se utiliza un intervalo abierto en la definición.

"excepto posiblemente en $a$ se incluyó porque el límite de la función en $a$ se determina por el comportamiento de la función cerca de $a$ pero no en $a$ .