Bueno, creo que el libro no es lo suficientemente claro. En la Mecánica Clásica sin limitaciones todo se reduce a resolver un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma $$\frac{d^2 \vec{x}}{dt^2}= \vec{G}\left(t, \vec{x}(t), \frac{d \vec{x}}{dt}(t)\right)\tag{1}$$ con unas condiciones iniciales dadas $$\vec{x}(t_0) = \vec{x}_0\:,\quad \frac{d \vec{x}}{dt}(t) = \vec{v}_0\:.\tag{2}$$ donde $\vec{x}=\vec{x}(t) \in \mathbb R^{3N}$ abarca todas las posiciones del $N$ puntos del sistema en el momento $t$ , $$\vec{x} = (\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_N)\:.$$ Arriba, $\vec{x}_i$ es el vector de posición del $i$ -enésimo punto en el espacio 3 de reposo de un sistema de referencia. Las masas $m_1,\ldots, m_N$ de los puntos se han plasmado en la función $\vec{G}= \vec{G}(t, \vec{x}, \vec{v})$ .
Como (1) está en forma normal Si el función $\vec{G}$ es conocido y es suficientemente regular, digamos $C^2$ (bastaría con que fuera conjuntamente continua en todas las variables y localmente Lipschitz en $(\vec{x}, \vec{v})$ ), entonces el Problema de Cauchy (1)+(2) admite una solución única (máxima) en un intervalo (máximo) que incluye $t_0$ .
Desde el punto de vista físico, el forma funcional de $\vec{G}$ se conoce cuando es una superposición de fuerzas (clásicamente) fundamentales, como la gravitatoria, la fuerza de Lorentz, etc.
Sin embargo la vida no es tan fácil porque hay situaciones prácticas y habituales en las que no sabemos el forma funcional de algunos de las fuerzas superpuestas para producir $\vec{G}$ . Este es el caso de los puntos con restricciones geométricas, donde, en lugar de la funcional forma de la fuerza necesaria para que se satisfaga la restricción, sólo se proporciona la ecuación analítica de la restricción. En este caso (1) debe sustituirse por
$$\frac{d^2 \vec{x}_i}{dt^2}= \frac{1}{m_i}\vec{F}_i\left(t, \vec{x}(t), \frac{d \vec{x}}{dt}(t)\right)+ \vec{\phi}_i(t)\tag{1'}\quad i=1,\ldots, N$$ donde $\vec{\phi}_i(t)$ es la fuerza sobre el $i$ -debido a la restricción geométrica en el momento $t$ , cuya forma funcional es completamente desconocida y por lo tanto es una incógnita más del problema exactamente como las funciones $\vec{x}_i$ .
Un escrutinio microscópico más cercano revelaría que $\phi_i$ es de naturaleza eléctrica, pero es irrelevante aquí. También pueden emularse matemáticamente mediante formas funcionales adecuadas, por ejemplo, de fuerzas conservativas, teniendo en cuenta la forma de las restricciones. Sin embargo, salvo casos particulares, estos enfoques no facilitan la solución del problema del movimiento restringido.
(1)" debe ir acompañada de un conjunto de ecuaciones que describan las restricciones $$f_j(t, \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_N)=0, \quad j=1,\ldots, c\tag{1''}$$ con $3N-c >0$ y las funciones $f_j$ tienen que ser funcionalmente independiente (No insistiré aquí en este punto).
El conjunto de requisitos (1')+(1'')+(2) (donde (2) debe ser compatible con las restricciones) no suele ser suficiente para determinar una solución única $\vec{x}_i= \vec{x}_i(t)$ junto con los valores de las funciones $\vec{\phi}_i= \vec{\phi}_i(t)$ a lo largo de cada movimiento del sistema.
El resto de la información necesaria viene dada por un ecuación constitutiva sobre las limitaciones. Se trata de una relación no geométrica en la que intervienen las fuerzas desconocidas $\vec{\phi}_i$ . Hay que conocer varios casos. Los más importantes son dos. La relación de fricción estándar sobre los componentes del $\vec{\phi}_i$ con los coeficientes de fricción $\mu$ y la caracterización de D'Alembert de las restricciones ideales. Esta última tiene como caso más simple una restricción sin fricción, pero también incluye la restricción de rigidez y la restricción de rodadura integrable.
El problema consistente en (1')+(1'')+(2)+la caracterización de D'Alembert de las restricciones ideales admite siempre una solución única
$$\vec{x}_i= \vec{x}_i(t)\:, \quad \vec{\phi}_i=\vec{\phi}_i(t)\:, i=1,\ldots, N$$
siempre que todas las funciones implicadas conocidas sean suficientemente regulares. Este es el principal resultado de la formulación lagrangiana de la mecánica clásica. Como subproducto, las ecuaciones de movimiento se escriben utilizando sólo $3N-c$ coordenadas (el $c$ limitaciones, así como las fuerzas desconocidas $\vec{\phi}_i$ desaparecen de las ecuaciones de Lagrange) que pueden ser elegidas con una gran arbitrariedad como probablemente ya sabes.
Anexo 1.
En cuanto a la caracterización de las constarints de D'Alembert es así. $$\sum_{i=1}^N \vec{\phi}_i \cdot \delta \vec{x}_i =0 \tag{D}$$
donde todo se evalúa en cada momento fijo $t$ en todas las configuraciones permitidas $\vec{x}$ y cada vector $$\delta \vec{x} = (\delta\vec{x}_1, \ldots, \delta\vec{x}_N)$$ es todo vector tangente al submanifold de $\mathbb R^{3N}$ incluyendo todas las configuraciones permitidas en el momento $t$ . Si introducimos coordenadas locales libres $q^1,\ldots, q^n$ ( $n= 3N-c$ ) en este colector, tenemos $$ \delta \vec{x}_i := \sum_{k=1}^n\frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^k} \delta q^k \tag{E}$$ para cada elección de los números $\delta q^k \in \mathbb R$ . $\delta \vec{x}$ a veces se llama desplazamiento virtual .
(La notación es horrible) $\delta q^k$ no son pequeñas, son arbitrarias. Sé que en algunos libros se escribe "infinitesimal", pero no significa nada. El lado derecho de (E) (con $i$ fijo) es un vector tangente genérico a la variedad de las restricciones, el $\delta q^k$ son las componentes escalares genéricas de ese vector con respecto a la base hecha del $n$ vectores $\frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^1}\:, \ldots,\frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^n}$ . Estos vectores son linealmente independientes porque se supone que las restricciones son funcionalmente independientes. (D) Dice que el conjunto de fuerzas reactivas $\phi_i$ es siempre ortogonal a la variedad de restricciones en un sentido generalizado. Este es el significado geométrico de las restricciones ideales.
Es posible demostrar que (D) incluye el caso de una restricción geométrica sin fricción (también cuando las curvas y superficies geométricas cambian de forma en el tiempo), la restricción de rigidez, cualquier mezcla de estos dos casos. También se incluye el caso de la restricción de rodadura siempre que sea integrable, es decir, que se pueda replantear de forma puramente geométrica como ocurre para un disco que rueda sobre una trayectoria fija. Pero no es el caso de una esfera que rueda sobre un plano.
Adenda 2.
En cuanto a la existencia y unicidad de la solución de las ecuaciones de movimiento que surgen. En primer lugar, (D) y (E) nos permiten replantear todo en términos de coordenadas locales libres $q^1,\ldots, q^n$ . Las ecuaciones de movimiento obtenidas son las conocidas generales Ecuaciones de Euler-Lagrange $$\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial T}{\partial q} = Q_k\tag{EL1}$$ $$\frac{dq^k}{dt} = \dot{q}^k\tag{EL2}$$ donde, para $k=1,\ldots, n$ $$Q_k(t,q, \dot{q}) := \sum_{i=1}^N \vec{F}_i \cdot \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^k} $$ y $$T(t,q,\dot{q}) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i \left(\frac{d\vec{x}_i}{dt}\right)^2\:.$$ Es posible demostrar que, bajo nuestras hipótesis de restricciones geométricas ideales $$T(t,q,\dot{q}) = \sum_{k,h=1}^m a_{hk}(t,q) \dot{q}^h \dot{q}^k + \sum_{k=1}^m b_{k}(t,q) \dot{q}^k + c(t,q)$$ donde la matriz $[a_{hk}]$ es no singular y positivo. De hecho
$$\begin{align} a_{hk}(t,q) &= \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^h} \cdot \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^k} \\ b_{k}(t,q) &= \sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^k} \cdot \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial t} \\ c(t,q) &= \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial t} \cdot \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial t} \end{align}$$
Utilizando este hecho, un complicado cálculo demuestra que (EL1)+(EL2) se reduce a un sistema del tipo $$\frac{d^2 q^k}{dt^2} = G^k\left(t, q, \frac{d q}{dt} \right) \quad k=1,\ldots$$
Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden escrito en su forma normal (todas las derivadas de mayor orden aparecen separadas de las demás variables). Si el lado derecho es suficientemente regular (como es el caso si las restricciones y la forma funcional de las fuerzas conocidas son suaves), el teorema general de existencia y unicidad de las soluciones para condiciones iniciales $q^k(t_0)$ , $\frac{dq^k}{dt}|_{t_0}$ se aplica.
