sabemos que $|P( \Bbb{R} )|=|L (\Bbb{R} )|$ ( $L (\Bbb{R} ) $ es el conjunto de todos los conjuntos medibles de Lebesgue )
nota que $L (\Bbb{R} ) \subsetneq P( \Bbb{R} ) $ .
¿Cuál es el cardinal de un conjunto no medible? ¿Es un conjunto contable?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un argumento estándar para demostrar que $\mathcal{L}(\mathbb R)$ tiene el mismo tamaño que $\mathcal{P}(\mathbb R)$ es observar que el subconjunto de Cantor de $[0,1]$ tiene el mismo tamaño que $\mathbb R$ y de medida 0, por lo que cualquiera de sus subconjuntos también tiene medida 0. Se puede utilizar la misma idea para encontrar el tamaño de $\mathcal P(\mathbb R)\setminus\mathcal L(\mathbb R)$ : Fijar un subconjunto no medible $N$ de $[2,3]$ y observe que $N\cup A$ no es medible para cualquier $A$ subconjunto del conjunto de Cantor. (Por cierto, esto ya se preguntó antes, véase aquí .)
La cuestión de qué tamaños pueden tener los conjuntos no medibles es más difícil. Por supuesto, cualquier conjunto de este tipo es incontable. Si $\kappa$ es el menor tamaño posible de un conjunto no medible, entonces hay conjuntos no medibles de tamaño $\tau$ para cualquier $\tau$ con $\kappa\le\tau\le|\mathbb R|$ por el mismo argumento que en el párrafo anterior, así que el problema es ver qué se puede decir sobre $\kappa$ en sí mismo. Resulta que $\mathsf{ZFC}$ no es lo suficientemente fuerte como para darnos mucha información: es consistente que $\kappa=\aleph_1$ mientras que $|\mathbb R|$ puede ser arbitrariamente grande. También es coherente que $\kappa=|\mathbb R|$ y $\mathbb R$ puede ser tan grande como se quiera. Otros comportamientos también son consistentes.
Este número $\kappa$ se ha estudiado en el contexto de las características cardinales (o "invariantes cardinales") del continuo, donde se denota $\mathrm{non}(\mathcal L)$ . Hay varios artículos de estudio que contienen más información. Véanse, por ejemplo, los capítulos de Andreas Blass y de Tomek Bartoszynski en el Handbook of set theory.
