¿Por qué es este no-lineal de la transformación no es una transformación de Lorentz? No conserva $x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2t'^2 $

Question

La transformación de Lorentz es una asignación de $x', y', z',$ and $t'$ coordinates relative to $x, y, z, t$ que conserva la velocidad de luz:

(1) $x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2t'^2 = 0$

Si $K'$ está moviendo con velocidad de $v$ $x$ dirección relativa a $K$ (de modo que $K$ está moviendo con velocidad de $-v$ $x$ dirección relativa a $K'$), y usamos la transformación de Galileo, se obtiene una errónea

(2) $x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2t'^2 = -2vxt + v^2t^2$

que NO es igual a cero, y por lo tanto, no describe una esfera de radio de $ct$ que emana desde el origen de $K'$, pero algo más (estoy bastante seguro de que es un ámbito que se ha cambiado negativamente en la $x$ dirección por una pequeña cantidad, relativa a $K'$). La Lorentz la transformación dice que modificar tanto el $x' = x - vt$ e las $t' = t$ relaciones con el fin de garantizar que acaban de llegar de 0.

Sin embargo, como un ingenuo matemático, miro a la ecuación (2) y pensar, "Ok, así que tenemos que modificar la regla para $x'$ o $t'$, o ambos, para obtener deshacerse de ese desagradable $-2xvt + v^2t^2$ plazo en el $x'$ regla. ¿Por qué no set $t'$ arriba de modo que en lugar de salir a $-c^2t^2$, realmente viene a $-c^2t^2 + 2vxt - v^2t^2$, por lo que los términos adicionales cancelar?" Yo ingenuamente, siguió adelante con esta idea y tengo las siguientes coordenadas transformación:

$$ x' = x - vt\\ y' = y\\ z' = z\\ t' = \frac{1}{c} \sqrt{(v^2 + c^2)t^2 - 2vxt} $$

Si el enchufe esta en (1), se obtiene 0 como se suponía.

Ahora, yo no he sido capaz de encontrar una explicación de por qué esta transformación no es satisfactoria. Por supuesto, ya no es lineal, pero hay algo de razón básica de por qué la transformación debe ser lineal? Obviamente esta transformación satisface el postulado de Einstein acerca de la constancia de la velocidad de la luz para todos los observadores inerciales.

Es de suponer, entonces, que debe violar el primer postulado, con respecto a la equivalencia de todos los fenómenos físicos para observadores inerciales - de lo contrario necesitaríamos más información para obtener la transformación de Lorentz, que creo que se supone que se deriven de los dos postulados solo.

Así que, al final, tengo una pregunta estoy tratando de responder:

1. ¿Esta transformación violar la equivalencia para los observadores inerciales? Por qué? (idealmente, alguien me podría dar un ejemplo de una fuerza que aparece de repente en mi sistema de coordenadas que no existe ya en el otro sistema de coordenadas)

Answer 1

Plano espacio-tiempo de la relatividad especial es el mismo en todas partes, así que debemos tener simetría traslacional en el tiempo y en el espacio. Si empezamos con dos eventos separados por $\Delta x^\mu$ en un marco, el de la separación de $\Delta x'^\mu$ en una impulsado marco debe depender sólo de $\Delta x^\mu$, y no en $x^\mu$ sí. Esta es sólo satisfecho de transformaciones lineales.

El uso de sus transformaciones, de los observadores de ser capaz de identificar una posición privilegiada. Esto viola el principio de equivalencia, incluso para los observadores en reposo uno respecto del otro, ya que depende de donde poner sus orígenes.

Answer 2

1. Respuesta a su ejemplo específico: Suponga que usted y yo estamos situados en un punto en que decide llamar a la de origen. Usted está viajando a la velocidad de $3/5$ con respecto a mí. (Aprovecho $c=1$).

Nuestro amigo, a un año luz de distancia según yo, parpadea una luz en el tiempo de $t=1/2$.

Según usted, que la luz parpadea a intervalos de tiempo $i\sqrt{13/50}$.

Así que no veo la luz intermitente en tiempo real, mientras que la veas parpadear en un tiempo imaginario, lo que eso significa. Presumiblemente, esto significa que usted no la ve parpadear. Esa es una manera de saber que estás en movimiento.

2. La respuesta a la cuestión más general de "¿por qué lineal?": De manera más fundamental: Si queremos ver una tercera persona que se mueve de distancia desde el origen a algunos otros de la velocidad, y si no hay fuerzas actuando sobre esa persona, y si él pasa a través de ambos $(x_1,t_1)$ $(x_2,t_2)$ (según yo), entonces debemos tener $x_1/t_1=x_2/t_2$. Y si usted debe estar de acuerdo en que no tiene fuerzas que actúan sobre él, entonces también debemos tener $x_1'/t_1'=x_2'/t_2'$. Estas consideraciones se fuerza la implicación $$(x_1 t_2=x_2 t_1) \Rightarrow (x_1' t_2'=x_2' t_1')$$ que mucho restringe el margen de las transformaciones.

Answer 3

Es por eso que es bueno distinguir (x,y,z,t) como las coordenadas en el espacio de Minkowski vs en un espacio de la tangente en cualquier punto. El espacio de Minkowski viene a ti como un colector, pero el espacio de la tangente viene a usted como un espacio vectorial (de modo que tiene sentido preguntar por la linealidad). Es entonces un caso feliz que se puede identificar. Esto es lo que el $\Delta x$ @knzhou respuesta está tratando de decir al mover el vector de espacio en lugar de la del colector. Si usted mira lo que las categorías de los objetos, lo que usted puede hacer para ellos se convierte sin ninguna opción en absoluto.