La convergencia de una Armónica Continuó Fracción

Question

¿Esto continuó fracción convergen?

$$\cfrac { 1 }{ 1+\cfrac { 1 }{ 2+\cfrac { 1 }{ 3+\cfrac { 1 }{ 4+\ddots } } } }$$

($[0;1,2,3,4, \dots]$)

Traté de que se aproxime a un par de valores, pero no podía hacer si converge o diverge. ¿Alguien puede dar una prueba si esta converge o diverge. Si converge, por favor, agregue lo que converge a.

Answer 1

La modificación funciones de Bessel de primera especie satisface la relación de recurrencia: $$I_n(\alpha)=\frac{\alpha}{2n}\left(I_{n-1}(\alpha)-I_{n+1}(\alpha)\right)\tag{1}$$ debido a la representación integral: $$I_n(\alpha) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,e^{\alpha\cos x}\,dx \tag{2}$$ y el coseno, además de las fórmulas. Una clara consecuencia de $(1)$ es que: $$\frac{I_n(\alpha)}{I_{n-1}(\alpha)}=\cfrac{1}{\cfrac{2}{\alpha}\,n+\cfrac{1}{\cfrac{2}{\alpha}\,(n+1)+\cdots}}\tag{3}$$ por lo tanto, conectando $\alpha=2$ $n=1$ obtenemos: $$\boxed{ \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cdots}}}=\frac{I_1(2)}{I_0(2)}=\color{red}{\frac{\sum_{m\geq 0}^{\phantom{A}}\frac{1}{m!(m+1)!}}{\sum_{m\geq 0}\frac{1}{m!^2}}}\approx 0.697774657964.}\tag{4}$$ La convergencia de la LHS es concedido por el hecho de que es una corriente continua fracción, $[0;1,2,3,4,\ldots]$. Los límites son fácilmente derivados de la roja relación, ya que tanto el numerador y el denominador son de muy rápida convergencia de la serie.

Answer 2

Por Seidel-Stern teorema, una fracción de la forma siguiente a converger:

$$\cfrac { 1 }{ a_1+\cfrac { 1 }{ a_2+\cfrac { 1 }{ a_3+\cfrac { 1 }{ a_4+\dots } } } }$$

$$a_k >0$$

La siguiente suma tiene que divergen:

$$a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots$$

Por lo tanto, incluso la siguiente continuó fracción converge:

$$\cfrac { 1 }{ 1+\cfrac { 1 }{1/2+\cfrac { 1 }{ 1/3+\cfrac { 1 }{1/4+\dots } } } }=\frac{\pi}{2}-1$$

Pero este se bifurca:

$$\cfrac { 1 }{ 1+\cfrac { 1 }{1/2^2+\cfrac { 1 }{ 1/3^2+\cfrac { 1 }{1/4^2+\dots } } } }$$

Answer 3

Este en particular es $I_1(2)/I_0(2)$ donde $I_0$ $I_1$ se modifican funciones de Bessel de primera especie, de las órdenes de $0$$1$.