¿Por qué ecdf utiliza una función de paso y no una interpolación lineal?

Question

CDF empírica funciones se calcula generalmente por una función de paso. Hay una razón por la que esto se hace de tal manera y no mediante una interpolación lineal? Hace la función de paso tiene cualquier teóricas interesantes propiedades que nos hacen preferir?

Aquí es un ejemplo de los dos:

ecdf2 <- function (x) {
  x <- sort(x)
  n <- length(x)
  if (n < 1) 
    stop("'x' must have 1 or more non-missing values")
  vals <- unique(x)
  rval <- approxfun(vals, cumsum(tabulate(match(x, vals)))/n, 
                    method = "linear", yleft = 0, yright = 1, f = 0, ties = "ordered")
  class(rval) <- c("ecdf", class(rval))
  assign("nobs", n, envir = environment(rval))
  attr(rval, "call") <- sys.call()
  rval
}


set.seed(2016-08-18)
a <- rnorm(10)
a2 <- ecdf(a)
a3 <- ecdf2(a)

par(mfrow = c(1,2))
curve(a2, -2,2, main = "step function ecdf")
curve(a3, -2,2, main = "linear interpolation function ecdf")

Answer 1

Es por definición.

Empírica de la función de distribución de un conjunto de observaciones $(X_n)$ está definido por

$$F_e(t) = \frac{\#\{X_n \mid X_n \le t\}}n$$

Donde $\#$ es el conjunto de cardinalidad. Este es, por naturaleza, una función de paso. Converge a la real CDF casi seguramente.

También tenga en cuenta que para cualquier distribución con $P(X = x) \ne 0$ durante al menos dos $x$ (especialmente degenerada de distribuciones discretas), su variante de ECDF ¿ no convergen a la actual de la CDF. Por ejemplo, considere una distribución de Bernoulli con CDF

$$F_X(x) = p \chi_{x \ge 0} + (1-p) \chi_{x \ge 1}$$ esta es una función de paso mientras que ecdf2 convergerán a $\chi_{x\ge 0} \cdot (p + (1-p)\min(x, 1))$ (un modelo lineal por tramos de la función de conectar $(0,p)$$(1,1)$.