Dada una secuencia $\{A_n\}$ con la de Fibonacci de la recurrencia de la relación
$$A_{n+2} = A_{n+1} + A_n$$
tenemos el conocido asintótica
$$A_n \sim C\phi^n$$
donde $\phi$ es la proporción áurea y $C$ depende de los términos iniciales $A_1$$A_2$. Por ejemplo, si $A_1 = A_2 = 1$ obtenemos la secuencia de Fibonacci y $C = 1/\sqrt{5}$. Pero si empezamos con diferentes valores iniciales obtenemos una diferencia constante $C$.
Consideremos ahora una más general de recurrencia:
$$A_{n+2} = A_{n+1} + A_n + g_n$$
donde$g_n \rightarrow 0$$n \rightarrow \infty$. Entonces, parece claro que también vamos a obtener la asintótica
$$A_n \sim C\phi^n$$
donde ahora la constante de $C$ depende también de la función de $g_n$.
En particular, para nuestra secuencia de
$$\log a_{n+2} = \log a_{n+1} + \log a_{n} + \log \left(1 + \frac{1}{a_n} - \frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$$
donde el último término tiende a cero muy rápidamente, por lo que tenemos
$$\log a_n \sim C\phi^n$$
para algunos $C$, pero estoy dudoso que podamos tener una ormula cerrada para $C$.
PRUEBAS DETALLADAS AÑADIÓ MÁS TARDE:
LEMA: Vamos a
$$A_{n+2} = A_{n+1} + A_n + c$$
ser un recurrente secuencia constante de $c$ y condiciones iniciales $A_1$$A_2$. Entonces
$$A_n = \frac{\phi^{n-1}-\psi^{n-1}}{\sqrt{5}} A_2 + \frac{\phi^{n-2}-\psi^{n-2}}{\sqrt{5}} A_1 + \left[\left(\frac{5+3\sqrt{5}}{10}\right)\phi^{n-2} + \left(\frac{5-3\sqrt{5}}{10}\right)\psi^{n-2} -1 \right]c$$
donde$\phi = (1+\sqrt{5})/2$$\psi = (1-\sqrt{5})/2$.
En particular, como $n \rightarrow \infty$,
$$A_n = \left(\frac{\phi A_2 + A_1}{\sqrt{5}} + \frac{5+3\sqrt{5}}{10} c\right)\phi^{n-2} - c + o(1).$$
La PROPOSICIÓN: Vamos a
$$A_{n+2} = A_{n+1} + A_n + c_n$$
ser recurrentes en la secuencia con las condiciones iniciales $A_1$ $A_2$ $c_n$ un delimitada de la secuencia. Entonces
$$A_n \sim C \phi^n$$
para algunas constantes $C$$\phi = (1+\sqrt{5})/2$, es decir, el límite de
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{A_n}{\phi^n}$$
existe.
La prueba del LEMA: Escribir recurrencia en forma de matriz y tomar la matriz de competencias.
La prueba de la PROPOSICIÓN: podemos usar el Lema de obligado nuestra secuencia de secuencias con constantes $c = M$ $c = -M$ a ver que $A_n/\phi^n$ es acotado, decir $|A_n/\phi^n| \leq B.$
Vamos a demostrar, además, que $A_n/\phi^n$ es una secuencia de Cauchy, y por lo tanto converge a un límite. Tenemos $|c_n| < M$ algunos $M$. Deje $\epsilon > 0$. Elija $N$ lo suficientemente grande como para que $M / \phi^N < \epsilon$. Para $n \geq N$, volvemos a usar el Lema de obligado nuestra secuencia de secuencias con constantes $c = M$$c = -M$, pero a partir de ahora en los valores iniciales $A_{N-1}$$A_N$. Así tenemos
$$\left| A_n - \left(\frac{\phi^{n-N+1}-\psi^{n-N+1}}{\sqrt{5}} A_N + \frac{\phi^{n-N}-\psi^{n-N}}{\sqrt{5}} A_{N-1} \right)\right|$$
$$\leq \left(\left(\frac{5+3\sqrt{5}}{10}\right)\phi^{n-N} + \left(\frac{5-3\sqrt{5}}{10}\right)\psi^{n-N} -1 \right)M.$$
Dividimos a través de por $\phi^n$ para obtener
$$\left| \frac{A_n}{\phi^n} - \left(\phi \frac{1 - (\psi/\phi)^{n-N+1}}{\sqrt{5}} \frac{A_N}{\phi^N} + \frac{1}{\phi}\frac{1-(\psi/\phi)^{n-N}}{\sqrt{5}} \frac{A_{N-1}}{\phi^{N-1}} \right)\right|$$
$$\leq \left(\left(\frac{5+3\sqrt{5}}{10}\right) + \left(\frac{5-3\sqrt{5}}{10}\right)\left(\frac{\psi}{\phi}\right)^{n-N} - \frac{1}{\phi^{n-N}} \right) \frac{M}{\phi^N} < 2\epsilon.$$
Ahora elija $N_2 > N$ lo suficientemente grande como para que $|\psi/\phi|^{N_2-N} B < \epsilon$. A continuación, para $n \geq N_2$ hemos
$$\left| \frac{A_n}{\phi^n} - \left(\phi \frac{1}{\sqrt{5}} \frac{A_N}{\phi^N} + \frac{1}{\phi}\frac{1}{\sqrt{5}} \frac{A_{N-1}}{\phi^{N-1}} \right)\right| < 3 \epsilon.$$
Por la desigualdad de triángulo, al $n \geq N_2$, tenemos
$$\left| \frac{A_n}{\phi^n} - \frac{A_{N_2}}{\phi^{N_2}}\right| < 6 \epsilon,$$
demostrando que $A_n/\phi^n$ es una secuencia de Cauchy.
