Supongo que usted quiere que su métrica a ser esférica de simetría y tienden asintóticamente plano espacio-tiempo. En el caso de que usted desea algo como:
$$ \mathrm ds^2 = -a(r)\mathrm dt^2 + \frac{\mathrm dr^2}{b(r)} + \mathrm d\Omega^2 $$
donde tanto $a(r)$ $b(r)$ tiene que tienden a una de las grandes $r$.
Un $1/r$ fuerza de ley va a exigir que el símbolo de Christoffel $\Gamma^r_{tt}$ es de aproximadamente $1/r$. Una rápida thrash de Mathematica más tarde y me sale:
$$ \Gamma^r_{tt} = -\tfrac{1}{2}b(r)~\frac{\mathrm da(r)}{\mathrm dr} $$
Como una comprobación rápida, para la métrica de Schwarzschild esperamos $\Gamma^r_{tt}$ es de aproximadamente $1/r^2$ a dar la ley del cuadrado inverso. Para esta métrica:
$$ a(r) = b(r) = 1-\frac{2GM}{c^2r} $$
Así:
$$ \Gamma^r_{tt} = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)\frac{GM}{c^2r^2} $$
y en el límite de $r \rightarrow\infty$ obtenemos $\Gamma^r_{tt}\propto 1/r^2$ como esperamos. Hasta ahora tan bueno.
Así que usted sólo tiene que encontrar dos funciones $a(r)$$b(r)$, de forma que ambos tienden a la unidad en un gran $r$ y el:
$$ b(r)~\frac{\mathrm da(r)}{\mathrm dr} \approx \frac{1}{r}$$
para un gran $r$. Normalmente se debería mirar para funciones como $1+f(r)$ donde $f(r)$ se convierte en pequeño en un gran$r$$\mathrm df/\mathrm dr \propto 1/r$, pero que daría $f = \ln(r)$ y que no vaya a la unidad en un gran $r$. Sin duda nuestro más experimentado de los matemáticos pueden pensar inmediatamente en una solución, pero tengo que confesar que nada viene a la mente.
