Engañosamente simple de masa-resorte problema?

Question

Esta pregunta está inspirada en los otros dos similares, hasta ahora sin respuesta (preguntas planteadas por los distintos OPs).

Masa $m_2$ se encuentra en una pendiente con un ángulo $\theta$ que ofrece sólo lo suficiente fricción para no empezar a deslizarse hacia abajo. Está conectado por una cuerda sin masa $S$ y perfecto de primavera $k$ (con Hookean constante del resorte $k$) en masa $m_1$. Polea $P$ es sin fricción. En $t=0$ la primavera no está extendida a todos. A continuación, $m_1$ es liberado.

Pregunta:

Cuál es el mínimo de $m_1$ a causa del movimiento de $m_2$ por la pendiente?

Intento:

Ignore la primavera.

Determinar estático coeficiente de $\mu$ primera.

\begin{align}m_2g\sin \theta &=\mu m_2g\cos \theta\\ \implies \mu &=\tan \theta\end{align}

Para superar el $m_2g$ componente paralela a la inclinación y a la fricción:

\begin{align}m_1g &\gt\mu m_2g\cos \theta+m_2g\sin \theta\\ \implies m_1 &\gt 2m_2\sin \theta\end{align}

Pero al parecer esta sobrestima $m_1$. Debe tenerse en cuenta que el $m_1$ empieza a acelerar antes de $m_2$ comienza a moverse, debido a la primavera.

Pero, ¿cómo? Al igual que varios otros miembros del yo no puede ver cómo el trabajo realizado en la primavera afecta el mínimo de $m_1$. Conservación de la energía?

Answer 1

Sin duda se puede hacer por la conservación de la energía, pero dudo que le dará el sentido intuitivo de que usted está buscando.

En vez de eso, vamos a caminar a través de la secuencia de eventos cuando usted deja para ir de la cortina de masa ($m_1$).

1. El colgante de masa ($m_1$) comienza a caer; la primavera comienza a extenderse. Ahora está ejerciendo una pequeña fuerza hacia arriba de la pendiente en $m_2$ y una pequeña fuerza hacia arriba en $m_1$, pero la cantidad de fuerza es menor que el peso de $m_1$ o de la fricción estática en a $m_2$. (Aquí supongo que la polea es de luz y de baja fricción, de modo que las fuerzas de tracción son los mismos en ambos extremos.) Como resultado, $m_1$ está cogiendo velocidad hacia abajo.

2. Como $m_1$ acelera hacia abajo el resorte se estira más y las dos fuerzas crecer. Vamos a poner fin a esta "etapa" en el punto donde la fuerza del resorte es igual al peso de $m_1$. Tenga en cuenta que $m_1$ ha sido la aceleración hacia abajo hasta el final de esta etapa. Voy a asumir que la fuerza es menor que la fricción estática o el problema no es interesante.

3. La primavera se mantiene el estiramiento (y la tensión sigue creciendo, por lo que ahora excede el peso de $m_1$) por $m_1$ todavía se está moviendo hacia abajo; sin embargo, $m_1$ ahora tiene un alza de aceleración: es el retraso de su baja rush.

4. Si la corredera no se movió, entonces la fuerza de tracción máxima ocurrirá cuando la $m_1$ llega tan lejos como sea posible, lo que significa que cuando su velocidad disminuye a cero, simplemente porque en ese momento se da la vuelta y la primavera empieza a ser menos extendido. Esta fuerza tiene una muy simple relación al peso de $m_1$.

Se puede ver lo que la fuerza máxima que se debe?

Answer 2

Lo consiguió.

Como $m_1$ gotas, la energía potencial gravitacional se convierte a la primavera de la energía potencial:

$$m_1gy=\frac12 k\ell^2$$ Donde $y=\ell$ ya que la cuerda no se estira.

La caída máxima es: $$y_\textrm{max}=\frac{2m_1g}{k}$$ Máxima tensión en el resorte es: $$T_\textrm{max}=ky_\textrm{max}=2m_1g$$ Para $m_2$ mover: \begin{align}2m_1g &\gt 2m_2g\sin\theta\\ \implies m_1 &\gt m_2\sin\theta\end{align}

Si esa condición no se cumple, $m_2$ no se mueva y $m_1$ va a comenzar a moverse hacia arriba de nuevo y entrar en un movimiento oscilatorio.

Answer 3

Si $m_1$ es demasiado pequeño. La masa se caen y rebotan. La fuerza de las masas es el más alto en el punto más bajo de la despedida. Una masa que es apenas lo suficientemente grande también un rebote, pero en el punto más bajo de la despedida de la fuerza va a ser sólo lo suficientemente grande como para mover $m_2$. Así que tenemos que encontrar una expresión para la fuerza en el punto más bajo.

Con la conservación de la energía puede descubrir cuál es la medida de la masa cae al equiparar la pérdida en la energía gravitacional con el aumento en la energía almacenada en el resorte. A partir de ahí me imagino que debe ser capaz de averiguar

Answer 4

Permítanme tratar de hacer esto sin el uso de las fórmulas. Considerar en primer lugar qué pasaría si $m_2$ estaban pegados a la pendiente. Entonces tendríamos un oscilador armónico simple que consta de $m_1$ suspendido a partir de la primavera de $k$ (claramente no importa de qué lado de la polea de la primavera es). En esta situación, el promedio de la fuerza de tensión (más de una oscilación completa) de la primavera debe ser igual al peso de $m_1$, por la conservación del momento. La posición inicial corresponde a la posición superior de la oscilación, y es que la primavera tiene un cero de tensión en esta posición. A continuación, para obtener la predicción de un promedio de más de una oscilación, la tensión debe ser dos veces el peso de $m_1$ a mitad de camino de la oscilación, al $m_2$ está en su posición más baja.

Dado que este es el más grande de la tensión que se produce durante el ciclo, la situación en la que $m_2$ no se pega a la superficie va a cambiar tan pronto como esta máxima tensión es suficiente para que se comiencen a deslizarse hacia arriba. De ello se desprende que el original estática cálculo sobrestima la masa necesaria de $m_1$ por un factor de$~2$.

Answer 5

Que han derivado en una ecuación que predice la fuerza mínima $F_{\text{min}}$ necesario para obtener el bloque $m_2$ que se mueve hacia arriba de la pendiente.

$$F_{\text{min}} = \mu m_2g\cos \theta+m_2g\sin \theta$$

Hasta que la tensión en la cuerda es igual al valor de la fuerza de la cuadra $m_2$ no se mueve de modo que la masa del muelle $m_1$ sistema puede ser considerado un estándar de sistema masa-resorte con el bloque de $m_2$ siendo el soporte rígido.

La estática de la posición de equilibrio de la masa-resorte $m_1$ sistema es al $m_1 g - k l =0$ donde $k$ es la constante del resorte y $l$ es la estática de la extensión de la primavera.
Cuando la masa se $m_1$ es liberado de la magnitud de la fuerza en ambos extremos de la primavera aumenta a medida que el resorte se estira.
Sin embargo, la masa de $m_1$ rebasa la estática posición de extensión y continúa hacia abajo hasta que la extensión de la primavera es un máximo, $= 2l$, y por lo tanto la fuerza en cada extremo de la primavera es $2k_l = 2 m_1g$ cuando la masa de $m_1$ se detiene.
Esta es la máxima fuerza ejercida por el resorte sobre el bloque de $m_2$ a través de la cadena y su necesaria $F_{\text{min}}$.