La Continuidad De $\Rightarrow$ Valor Intermedio De La Propiedad. ¿Por qué es el opuesto no es cierto?
Me parece que son iguales definiciones de una manera.
Me puedes dar un contra-ejemplo?
Gracias
Respuestas
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I.
Algunas de las respuestas revelan una confusión, así que permítanme comenzar con la definición. Si $I$ es un intervalo, y $f:I\to\mathbb R$, decimos que $f$ tiene el valor intermedio de la propiedad iff siempre $a<b$ son los puntos de $I$, si $c$ es de entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces hay un costo de $d$ entre $a$ y $b$ $f(d)=c$.
Si $I=[\alpha,\beta]$, esta es significativamente más fuerte que pedir que $f$ tomar todos los valores entre $f(\alpha)$ y $f(\beta)$:
- Por ejemplo, esto implica que si $J\subseteq I$ es un intervalo, entonces $f(J)$ es también un intervalo (tal vez no acotada).
- También implica que $f$ no puede tener saltar discontinuidades: Por ejemplo, si $\lim_{x\a t^-}f(x)$ existe y es estrictamente menor que $f(t)$, entonces $$ x suficientemente cerca de a $t$ y menor que $t$, y $u$ lo suficientemente cerca de $f(t)$ y menor que $f(t)$, $f$ no tomar el valor de $u$ $(x,t)$, a pesar del hecho de que $f(x)<u<f(t)$. Esto indica que si $f$ es discontinuo, sus discontinuidades debe ser algo salvaje.
- En particular, si $f$ es discontinua en un punto de $a$, entonces hay $y$ que la ecuación de $f(x)=y$ tiene una infinidad de soluciones cerca de $a$.
II.
Hay una buena encuesta con información detallada de las pruebas de varios ejemplos de las funciones que ambos son discontinuos y tener el valor intermedio de la propiedad: I. Halperin, funciones Discontinuas con la propiedad de Darboux, Puede. De matemáticas. Bull., 2 (2), (Mayo de 1959), 111 al 118. Contiene la divertida cita
Hasta que el trabajo de Darboux en 1875 algunos matemáticos creían que [el valor intermedio] propiedad implícita la continuidad de $f(x)$.
Esta afirmación se repite en otros lugares. Por ejemplo, aquí se lee
En el siglo 19, algunos matemáticos creían que [el valor intermedio] propiedad es equivalente a la continuidad.
Esto es muy similar a la que encontramos en A. Bruckner, la Diferenciación de funciones reales, AMS, 1994. En la página 5 leemos
Esta propiedad se cree, por parte de algunos del siglo 19 matemáticos, a ser equivalente a la propiedad de continuidad.
Aunque he sido incapaz de encontrar una fuente que expresan esta creencia, que de hecho ese era el caso es apoyado por los siguientes dos citas de Gaston Darboux la Mémoire sur les fonctions suspende, Ann. Sci. Scuola Norma. Sup., 4, (1875), 161-248. En primer lugar, en las páginas 58-59 leemos:
Au risque d'être trop largo, j'ai tenu avant tout, sans y réussir peutêtre, à être rigoureux. Bien des puntos, qu'on regarderait à bon droit comme évidents ou que l'on accorderait dans les aplicaciones de la ciencia aux fonctions usuelles, doivent être soumis à une la crítica rigoureuse dans l''exposé des proposiciones familiares aux les fonctions más generales. Par exemple, en verra qu'il existe des fonctions continúa qui ne sont ni croissantes ni décroissantes dans aucun intervalle, qu'il y a des fonctions suspende qui ne peuvent varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.
La prueba de que los derivados tienen el valor intermedio de la propiedad viene después, a partir de la página 109, donde leemos:
En partant de la remarque précédente, nous allons montrer qu'il existe des fonctions suspende qui jouissent d'une propriété que l'on regarde quelquefois comme le caractère distinctif des fonctions continúa, celle de ne pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires.
III.
Naturales adicionales supuestos en una función con el valor intermedio de la propiedad implica la continuidad. Por ejemplo, la inyectividad o monotonía.
Los derivados tienen el valor intermedio de la propiedad (ver aquí), pero hay discontinuo derivados: Dejar que $$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2\sin(1/x)&\mbox{ si }x\ne0,\\0&\mbox{ si }x=0.\end{array}\right.$$ (En el ejemplo se remonta a Darboux a sí mismo.) Esta función es diferenciable, su derivada en $0$ $0$ y $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ si $x\ne0$, entonces $f$ es discontinua en $0$.
Este ejemplo nos permite encontrar funciones con el valor intermedio de la propiedad que no son derivados de: Considerar a los primeros $$g(x)=\left\{\begin{array}{cl}\cos(1/x)&\mbox{ si }x\ne0,\\ 0&\mbox{ si }x=0.\end{array}\right.$$ Esta función (claramente) tiene el valor intermedio de la propiedad y de hecho es un derivado, ya que, junto con el de $f$ en el párrafo anterior, si $$h(x)=\left\{\begin{array}{cl}2x\sin(1/x)&\mbox{ si }x\ne 0,\\ 0&\mbox{ si }x=0,\end{array}\right.$$ entonces $h$ es continua, y $g(x)=h(x)-f'(x)$ para todo $x$. Pero las funciones continuas son derivados, por lo que $g$ es también un derivado. Ahora tome $$j(x)=\left\{\begin{array}{cl}\cos(1/x)&\mbox{ si }x\ne0,\\ 1&\mbox{ si }x=0.\end{array}\right.$$ Esta función todavía tiene el valor intermedio de la propiedad, pero $j$ es no un derivado. De lo contrario, $j-g$ también sería un derivado, pero $j-g$ no tiene el valor intermedio de la propiedad (tiene una discontinuidad de salto en $0$). Para una ampliación de este tema, ver aquí.
De hecho, una función con el valor intermedio de la propiedad puede ser muy caótico. Katznelson y Stromberg (diferenciable en todas partes, en ninguna parte, la monotonía, las funciones, La American Mathematical Monthly, 81, (1974), 349-353) dar un ejemplo de una función derivable $f:\mathbb R\to\mathbb R$ cuya derivada satisface que cada uno de los tres conjuntos de $\{x\a mediados de f'(x)>0\}$, $\{x\a mediados de f'(x)=0\}$ y $\{x\a mediados de f'(x)<0\}$ es densa (incluso se puede asegurar que $\{x\a mediados de f'(x)=0\}=\mathbb Q$); esto implica que $f$ es muy discontinua. Aunque su función satisface $|f'(x)|\le 1$ para todo $x$, $f$ no es (de Riemann) integrable sobre cualquier intervalo de tiempo.
Por otro lado, los derivados deben ser continuos en algún lugar (de hecho, en un denso conjunto), ver esta respuesta.
Conway base 13 de la función es aún más dramático: Que tiene la propiedad de que $f(I)=\mathbb R$ para todos los intervalos I$$. Esto implica que esta función es discontinua en todas partes. Otros ejemplos son discutidos en esta respuesta.
Halperin del documento mencionado anteriormente incluye ejemplos con aún más fuerte discontinuidad propiedades. Por ejemplo, hay una función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que no sólo los mapas de cada intervalo en $\mathbb R$ pero, de hecho, toma cada valor de $|\mathbb R|$-muchas veces en cada una de las innumerables conjunto cerrado. Para construir este ejemplo, uno necesita un poco de la teoría de conjuntos: el Uso de la recursión transfinita, comenzando con las enumeraciones $(r_\alpha\mid\alpha<\mathfrak c)$ de $\mathbb R$ y $(P_\alpha\mid\alpha<\mathfrak c)$ de su perfecta subconjuntos, asegurando que cada conjunto perfecto aparece $\mathfrak c$ muchas veces. Ahora de forma recursiva seleccione en la etapa de $\alpha<\mathfrak c$, el primer real de acuerdo a la enumeración que pertenece a $P_\alpha$ y no se ha seleccionado todavía. Después de hacer esto, continuum muchos de reales han sido escogidos de cada conjunto perfecto de $P$. La lista de ellos en una matriz de tipo double, como $(s_{P,\alpha,\beta}\mid\alpha,\beta<\mathfrak c)$ y $f(s_{P,\alpha,\beta})=r_\alpha$ (dejando de $f(x)$ arbitraria para los que $x$ no de la forma $s_{P,\alpha,\beta}$).
Para buscar referencias: El valor intermedio de la propiedad es a veces llamada la propiedad de Darboux o, incluso, se dice que una función con esta propiedad es Darboux continua.
Un libro excelente que la discusión de estos asuntos es el de A. C. M. van Rooij, y W. H. Schikhof, Un segundo curso sobre funciones reales, Cambridge University Press, 1982.
Betty Mock
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Lissome
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El siguiente teorema puede ser de interés para usted, lo que realmente muestra que la clase de funciones con el IVP es muy grande.
Teorema (Sierpinski) Dejar que $f : \mathbb R \to \mathbb R$ ser cualquier función. Entonces existe $f_1,f_2 : \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $f=f_1+f_2$ y $f_1,f_2$ satisfacer el Valor Intermedio de la Propiedad.
Por otra parte, en el Teorema anterior, $f_1,f_2$ puede ser elegido para ser discontinua en todos los puntos.
user44197
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8196
Kaarel Kitsemets
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Para empezar quiero decir que el IVP, considerando que en mal estado en la definición:
Deje que $I$ ser un intervalo abierto y $f : I \to \mathbb{R}$, entonces $f$ tiene el IVP iff Dado $a,b \in I : \le b$ $$ \forall \; y \text{ entre } f(a),f(b) \; \exists \; x \in [a,b] : f(x) = y $$
La siguiente función tiene IVP en $\mathbb{R}$, pero no es continua en todos los de $\mathbb{R}$ EDIT: esto discontinuo surjective función ;)
$$
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\; f(x) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{x} : x \neq 0 \\ 0 : x = 0 \end{array}\right.
$$
Como todo el mundo ha dicho este hombre, llamado Darboux (bastante cool guy), vino con el siguiente teorema:
Dado un intervalo abierto I $$ y $f$ una función derivable (NOTA: $f$ no necesariamente tiene que ser de $C^1$!) s.t. $f : I \to \mathbb{R}$, $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} = f'$ ha IVP sobre $I$.
Así, un ejemplo bastante común es poner $$ f : (-1,1) \to \mathbb{R}, \; f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) : & x \neq 0 \\ 0 : & x = 0 \end{array} \right. $$ y luego ver que $f'(x) = 2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \left( \frac{1}{x} \right) : x \neq 0$ (regla de la cadena, en caso de que pedo cerebral a menudo como lo hago yo) y por lo tanto $f$ es claramente discontinua en $x=0$, pero por el Teorema de Darboux se ha IVP!
