¿Existe una topología tal que $(\Bbb R, +, \mathcal T)$ es un grupo topológico compacto de Hausdorff?

Question

Ya sé que esto es imposible para $(\Bbb Q, +, \mathcal T)$ para ser un grupo topológico compacto de Hausdorff (nótese que la topología trivial no funciona porque no es Hausdorff).

De hecho, esto se deduce del teorema de Baire: ya que si $(\Bbb Q, +, \mathcal T)$ fuera un grupo topológico compacto de Hausdorff, entonces $\Bbb Q$ sería la unión de la colección contable de conjuntos cerrados $\{r\}$ (con $r \in \Bbb Q$ ). Como tenemos un espacio Hausdorff localmente compacto, el teorema de Baire nos dice que al menos uno de los conjuntos cerrados tiene el interior no vacío, es decir, algún $\{r\}$ está abierto. Como tenemos un grupo topológico, se deduce que $(\Bbb Q, +, \mathcal T)$ es discreto y, por tanto, no compacto.

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Pero ¿qué pasa con $(\Bbb R, +, \mathcal T)$ ? Mi primera idea fue utilizar el isomorfismo de grupo (e incluso de espacios vectoriales) $\Bbb R \cong \Bbb Q^{(\Bbb N)}$ . Transporte de la topología $\mathcal T$ en $\Bbb Q^{(\Bbb N)}$ preserva la compacidad, y podríamos intentar utilizar la proyección $\Bbb Q^{(\Bbb N)} \to \Bbb Q$ . Pero no estaba seguro de qué hacer entonces.

Se agradecerá cualquier comentario.

Answer 1

Una buena manera de pensar en esto es en términos de la dualidad Pontryagin. Como sólo nos interesa la estructura de grupo abeliano de $\mathbb{R}$ En primer lugar, caractericemos bien esta estructura. Como grupo abeliano, $\mathbb{R}$ es el único $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial de su cardinalidad (hasta el isomorfismo). Un grupo abeliano $A$ es un $\mathbb{Q}$ -si para cada espacio vectorial no nulo $n\in \mathbb{Z}$ la multiplicación por $n$ mapa $n:A\to A$ es un isomorfismo.

Lo bueno de esto es que esta condición es autodual bajo la dualidad de Pontryagin. Si $A$ es un grupo abeliano localmente compacto, entonces el dual del mapa $n:A\to A$ es sólo el mapa $n:\hat{A}\to\hat{A}$ en el grupo dual. Así que esto dice que un grupo abeliano localmente compacto es un $\mathbb{Q}$ -si su dual es un $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial.

En particular, utilicemos esto para clasificar los grupos abelianos compactos que son isomorfos (como grupos) a $\mathbb{R}$ . Estos son sólo los duales de Pontryagin $\hat{V}$ de todos $\mathbb{Q}$ -espacios vectoriales $V$ (con la topología discreta) para la que $\hat{V}$ tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$ . No es difícil demostrar que $\hat{\mathbb{Q}}$ tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$ . Si $V$ es un $\kappa$ -dimensional $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial entonces $\hat{V}$ es un producto de $\kappa$ copias de $\hat{\mathbb{Q}}$ que tiene cardinalidad $2^{\aleph_0\cdot\kappa}$ .

En resumen, hay topologías de grupo compactas en $\mathbb{R}$ . Hasta el isomorfismo continuo, existe una topología de este tipo para cada cardinal $\kappa$ tal que $2^{\aleph_0\cdot\kappa}=2^{\aleph_0}$ (en particular, esto incluye todos los $\kappa$ tal que $0<\kappa\leq\aleph_0$ ). El dual de Pontryagin de este grupo compacto es un $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial de dimensión $\kappa$ .

El caso $\kappa=1$ da $\hat{\mathbb{Q}}$ que es un solenoide . Explícitamente, $\hat{\mathbb{Q}}$ es el límite inverso de la secuencia $\dots\to S^1\stackrel{4}{\to}S^1\stackrel{3}{\to}S^1\stackrel{2}{\to}S^1$ ya que $\mathbb{Q}$ es el límite directo de la secuencia $\mathbb{Z}\stackrel{2}{\to}\mathbb{Z}\stackrel{3}\to\mathbb{Z}\stackrel{4}{\to}\mathbb{Z}\to\dots$ . En general $\kappa$ , sólo tienes un producto de $\kappa$ copias de $\hat{\mathbb{Q}}$ .